整数划分问题

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说明一下问题，什么是整数划分？

n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

举个例子，当n=5时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=5）

5 = 5 
   = 4 + 1 
   = 3 + 2 
   = 3 + 1 + 1 
   = 2 + 2 + 1 
   = 2 + 1 + 1 + 1 
   = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

一、动态规划解法

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

1、当n=1时，显然f(n,m) =1(m>0) 只有本身

2、当m=1等于1时，不管n等于多少，都只有n个1组成的集合

3、当n=m时，考虑是否取m值，分为两种情况：

　　取m值，那么就只有一个n

　　不取m值，那么转化为f(n,m-1)

　　所以f(n,m)=1+f(n,m-1)

4、当n<m时，完全可以看作n=m的情况

5、当n>m时,考虑是否取m

　　取m值,即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m);

　　不取m值，划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

　　所以n>m的情况，f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1)

综上所述：可以按情况进行递归：

其中1 2属于递归终止条件

3 4属于特殊情况

5属于通用情况

下面看代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int dfs(int n,int m)
{
    cout<<n<<" "<<m<<endl;
//    cout<<n<<" "<<m<<endl;
    if(n==1||m==1) return 1;
    else if(n==m) return 1+dfs(n,m-1);
    else if(n>m) return dfs(n-m,m)+dfs(n,m-1);
    else if(n<m) return dfs(n,n);//相当于n,n的情况
}
int main()
{
    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
    {
        cout<<dfs(n,m)<<endl;
    }
    return 0;
}

下面看几个变种：

（一）要求1,2,3,4..,m中每个数只允许使用一次的时？

只需要考虑当n>m时,考虑是否取m

　　取m值,即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m-1); 因为m不能再取了

　　不取m值，划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

　　所以n>m的情况，f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1)

　　但是终止条件当n=1时 m>=1 肯定是1 但是当n=1 m<1或者 n>1 m=1时显然是0 因为你已经凑不出来了n值

（二）要求只能取1,2,3,4,..,m中的奇数？（默认m为奇数，如果不是则m=m-1）

　　这个呢，我们首先需要调整边界状态：当m=1时，f(n,m)=1；当n=1而m>1时，f(n,m)=0

　　其次，我们需要调整状态转换公式：

　　f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为：f(n-m,m)+f(n,m-2); (n>m)

　　当n=m时，考虑是否取m值，分为两种情况：

　　取m值，那么就只有一个n

　　不取m值，那么转化为f(n,m-2)

　　所以f(n,m)=1+f(n,m-2)

来源：oschina

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一、 动态规划解法

一、动态规划解法