一、树

在谈二叉树前先谈下树和图的概念

树：不包含回路的连通无向图（树是一种简单的非线性结构）

树有着不包含回路这个特点，所以树就被赋予了很多特性

1、一棵树中任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通

2、一棵树如果有n个结点，那它一定恰好有n-1条边

3、在一棵树中加一条边将会构成一个回路

4、树中有且仅有一个没有前驱的结点称为根结点

在对树进行讨论的时候将树中的每个点称为结点，

根结点：没有父结点的结点

叶结点：没有子结点的结点

内部结点：一个结点既不是根结点也不是叶结点

每个结点还有深度，比如上图左边的树的4号结点深度是3（深度是指从根结点到这个结点的层数，根结点为第一层）

二、二叉树

基本概念：

二叉树是一种非线性结构，二叉树是递归定义的，其结点有左右子树之分

二叉树的存储结构：

二叉树通常采用链式存储结构，存储结点由数据域和指针域（指针域：左指针域和右指针域）组成，二叉树的链式存储结构也称为二叉链表，对满二叉树和完全二叉树可按层次进行顺序存储

特点：

1、每个结点最多有两颗子树

2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒

3、即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树

4、二叉树可为空，空的二叉树没有结点，非空二叉树有且仅有一个根节点

二叉树中有两种特殊的二叉树：满二叉树、完全二叉树

满二叉树：二叉树中每个内部结点都有存在左子树和右子树（或者说满二叉树所有的叶结点都有同样的深度）

满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树

（满二叉树的严格的定义是：一颗深度为h且有2^h-1个结点的二叉树）

（图片来源：https://www.cnblogs.com/polly333/p/4740355.html）

完全二叉树：

第一种解释：如果一颗二叉树除最右边位置上有一个或几个叶结点缺少外，其他是丰满的那么这样的二叉树就是完全二叉树（这句话不太好理解），看下面第二种解释

第二种解释：除第h层外，其他各层（1到h-1）的结点数都达到最大个数，第h层从右向左连续缺若干结点，则这个二叉树就是完全二叉树

也就是说如果一个结点有右子结点，那么它一定也有左子结点

第三种解释：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值，在最后一层上只缺少右边的若干结点

完全二叉树的形状类似于下图

为了方便理解请看下图（个人理解：完全二叉树就是从上往下填结点，从左往右填，填满了一层再填下一层）

（图片来源：https://www.cnblogs.com/polly333/p/4740355.html#3）

二叉树相关词语解释：

结点的度：结点拥有的子树的数目

叶子结点：度为0的结点（tips：在任意一个二叉树中，度为0的叶子结点总是比度为2的结点多一个）

分支结点：度不为0的结点

树的度：树中结点的最大的度

层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1

树的高度：树中结点的最大层次

二叉树基本性质：

性质1：在二叉树的第k层上至多有2^k-1个结点（k>=1）

性质2：在深度为m的二叉树至多有2^m-1个结点

性质3：对任意一颗二叉树，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度至少为[log2n]+1，其中[log2n]表示log2n的整数部分

存储方式

存储的方式和图一样，有链表和数组两种，用数组存访问速度快，但插入、删除节点操作就比较费时了。实际中更多的是用链来表示二叉树（下面的实现代码使用的是链表）

实现代码：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #define N 10
 4 
 5 typedef struct node
 6 {
 7     char data;
 8     struct node *lchild;    /* 左子树 */
 9     struct node *rchild;    /* 右子树 */
10 
11 }BiTNode, *BiTree;    
12 
13 void CreatBiTree (BiTree *T) /* BiTree *T等价于 struct node **T    */
14 {
15     char ch;
16     
17     scanf("%c", &ch);
18     if (ch == '#')    /* 当遇到#时，令树的结点为NULL，从而结束该分支的递归 */
19     {
20         *T = NULL;
21     }
22     else
23     {
24         *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
25         if (*T == NULL)
26         {
27             printf("内存分配失败");
28             exit(0);
29         }
30         (*T)->data = ch;        /* 生成结点 */
31         CreatBiTree(&(*T)->lchild);    /* 构造左子树 */
32         CreatBiTree(&(*T)->rchild);    /* 构造右子树 */
33         /* 这里需要注意的是->的优先级比&高，所以&(*T)->lchild得到的是lchild的地址 */
34     }
35 
36 }
37 int main()
38 {
39     int level  = 1;
40 
41     BiTree t = NULL;
42     printf("以前序遍历方式输入二叉树\n");
43     CreatBiTree(&t);    /* 传入指针的地址 */
44 }

上面的代码采用的是以前序遍历方式输入二叉树，当输入“#”时，指针指向NULL，说明是改结点是叶结点

三、二叉树的遍历（前序\中序\后序遍历）

二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树中所有结点，主要指非空二叉树，对于空二叉树则结束返回，二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历、后序遍历

前序遍历：首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树（根->左->右）

顺序：访问根节点->前序遍历左子树->前序遍历右子树

 1 /* 以递归方式 前序遍历二叉树 */
 2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)
 3 {
 4     if (t == NULL)    
 5     {
 6         return ;
 7     }
 8     printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);
 9     PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);
10     PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1);
11 }

中序遍历：首先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树（左->根->右）

顺序：中序遍历左子树->访问根节点->中序遍历右子树

 1 /* 以递归方式 中序遍历二叉树 */
 2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)
 3 {
 4     if (t == NULL)    
 5     {
 6         return ;
 7     }
 8     PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);
 9     printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);
10     PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1);
11 }

后序遍历：首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点（左->右->根）

顺序：后序遍历左子树->后序遍历右子树->访问根节点

 1 /* 以递归方式 后序遍历二叉树 */
 2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)
 3 {
 4     if (t == NULL)    
 5     {
 6         return ;
 7     }
 8     PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);
 9     PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1);
10     printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);
11 }

从上面可以看出，三种遍历方式极其相似，只是语句 printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);的位置发生了变化

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4396360/blog/3654829

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二叉树、前序遍历、中序遍历、后序遍历

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