1. 前言
4. 序结构
定义1(二元关系).设 X X X是一个集合， R \mathcal{R} R是 X × X X\times X X×X的子集，则称 R \mathcal{R} R是 X X X的一个二元关系。 R \mathcal{R} R中的元素 ( a , b ) (a,b) (a,b)通常被记为 a R b a\mathcal{R}b aRb。
当 R \mathcal{R} R是 X X X的对角时
R = Δ X = { ( a , a ) : a ∈ X } \mathcal{R}=\Delta_X=\{(a,a):a\in X\} R=ΔX={ (a,a):a∈X}
该二元关系被记为 = = =。
定义2(序关系).设 X X X是一个集合， R \mathcal{R} R是一个二元关系。当 R \mathcal{R} R满足性质
- 自反性。即
5. ω 1 \omega_1 ω1的构造
设 X X X是不可数集合，根据选择公理， X X X上可以定义一个良序（Well Ordering），也就是满足如下性质的序：
- 设 A A A是 X X X是非空子集，则 A A A中存在极小元 a a a，即 a ∈ A a\in A a∈A，且对任何 b ∈ A b\in A b∈A，有 a ≤ b a\leq b a≤b。
特别地，上述条件说明 A A A中任何两个元素都可以比较，即
命题1.良序一定是线性序。
定义 s e g a \mathbf{seg}\,a sega为 X X X中所有小于 a a a的元素构成的集合，即
s e g a = { x ∈ X : x < a } . \mathbf{seg}\,a=\{x\in X:x<a\}. sega={ x∈X:x<a}.
定义 Y = { y ∈ X : s e g y 是 不 可 数 的 } Y=\{y\in X:\mathbf{seg}\,y是不可数的\} Y={ y∈X:segy是不可数的}，当 Y Y Y不是空集时，根据良序性，存在 Y Y Y的极小元 y 0 y_0 y0，此时定义
ω 1 : = s e g y 0 , \omega_1:=\mathbf{seg}\,y_0, ω1:=segy0,
当 Y = ∅ Y=\empty Y=∅时，定义 ω 1 = X \omega_1=X ω1=X。这样定义的 ω 1 \omega_1 ω1被称为第一不可数序。
命题2.如上定义的 ω 1 \omega_1 ω1具有性质：
- ω 1 \omega_1 ω1是具有良序的不可数集合。
- 任何 x ∈ ω 1 x\in \omega_1 x∈ω1， s e g x \mathbf{seg}\,x segx是可数的。
- 对于序列 { x n } ⊂ ω 1 \{x_n\}\subset \omega_1 { xn}⊂ω1，存在 y ∈ ω 1 y\in \omega_1 y∈ω1使得
∪ n s e g x n = s e g y \cup_n \mathbf{seg}\,x_n=\mathbf{seg}\,y ∪nsegxn=segy
我们记 y = sup x n y=\sup x_n y=supxn.
我们在 ω 1 \omega_1 ω1上定义线性序拓扑：一族拓扑基为如下形式
- ( − ∞ , a ) : = { x ∈ ω 1 : x < a } (-\infty,a):=\{x\in \omega_1:x<a\} (−∞,a):={ x∈ω1:x<a}.
- ( b , ∞ ) : = { x ∈ ω 1 : x < b } (b,\infty):=\{x\in \omega_1:x<b\} (b,∞):={ x∈ω1:x<b}.
- ( a , b ) : = { x ∈ ω 1 : a < x < b } (a,b):=\{x\in \omega_1:a<x<b\} (a,b):={ x∈ω1:a<x<b}.
命题3.验证：
- 如上定义确实是一个拓扑基.
- 设序列 { x n } \{x_n\} { xn}和 { y n } \{y_n\} { yn}都包含于 ω 1 \omega_1 ω1中，且 x n ≤ y n ≤ x n + 1 x_n\leq y_n\leq x_{n+1} xn≤yn≤xn+1，则
sup x n = sup y n ， lim n → ∞ x n = sup x n ， lim n → ∞ y n = sup y n . \sup x_n=\sup y_n，\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\sup x_n，\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=\sup y_n. supxn=supyn，n→∞limxn=supxn，n→∞limyn=supyn.- R \mathbb{R} R中通常的拓扑就是线性序拓扑.
- 设 A , B A,B A,B为 ω 1 \omega_1 ω1中不交的闭子集，则至少其中一个是可数集.
- ω 1 \omega_1 ω1上的连续实值函数最终是常数，即存在 A ∈ ω 1 A\in \omega_1 A∈ω1使得任何 x ≥ A x\geq A x≥A，有常数 c c c使得
f ( x ) = c . f(x)=c. f(x)=c.
来源：oschina
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