红黑树（第一篇）

介绍

• R-B Tree全称Red-Black Tree，又名红黑树
• 1972年由鲁道夫.贝尔发明
• 一种自平衡二叉查找树
• 二叉查找树每个节点增加一个存储位表示节点的颜色，非黑即红
• 时间复杂度O(log n)
• 二叉查找树？
• 平衡二叉查找树？

二叉查找树

• Binary Search Tree
• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值
• 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树
• 没有键值相等的节点
• 时间复杂度O（log n）（最好的情况下）
• 例子
  • 二叉查找树
  • 退化成线性的二叉查找树，时间复杂度O（n）

平衡二叉查找树

• AVL
• 任何一个节点的左子树与右子树都是平衡二叉查找树，且高度之差的绝对值不超过1（即平衡因子：左子树高度-右子树高度，1 or 0 or -1）
• 严格的平衡二叉查找树
• 对于查找友好，对于插入、删除不够友好，频繁破坏规则，频繁旋转以适应规则
• 例子

RB特性

• 每个节点或者黑色，或者红色
• 根节点是黑色
• 每个叶子节点（NIL）是黑色（注：此处叶子节点，指为空（NIL或NULL）的叶子节点）
• 如果一个节点是红色的，则它的子节点必需是黑色的
• 对任意节点，其到叶子节点（NIL）的每条路径都包含相同数目的黑色节点
• 例子

时间复杂度

• 定理：一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1)
• 逆否命题：高度为h的红黑树，包含的内节点个数至少为 $2^{h/2}-1$ 个
• 黑高：从某个节点X（不包含该节点）触发，到达一个叶子节点的任意一条路径上，黑色节点的个数称为该节点的黑高度，记为bh(x)
• 根据特性5，从节点X到达所有叶子节点具有相同数目的黑节点，即bh(x)的值是唯一的！
• 根据特性4，从节点X到达所有叶子节点所经历的黑节点数目>=所经历的红节点的数目。假设X为根节点，则hb(x)>=h/2，代入上面的逆否命题公式。则逆否命题公式变为： 高度为h的红黑树，包含的黑节点个数至少为$2^{bh(x)}-1$个
• 数学归纳法
  • 当h=0时，则黑高bh(x)=0,$2^{bh(x)}-1=0$。原命题成立
  • 当h>0时，设树高度为h，对于节点X（X为根节点），其黑高度为bh(x)。对于节点X的左右子树，黑高度为bh(x)或者bh(x)-1
  • 归纳假设，左、右子树至少包含$2^{bh(x)-1}-1$个内部节点
  • 所以，节点X所包含的节点树至少为 $$(2^{bh(x)-1}-1)+(2^{bh(x)-1}-1)+1=2^{bh(x)}-1$$ 即节点X所包含的节点至少为$2^{bh(x)}-1$，原命题成立
  • 综上，高度为h的红黑树，包含的黑节点个数至少为$2^{bh(x)}-1$个，因此，一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1)

应用

• JDK 1.8 HashMap
• Linux普通进程调度，用红黑树管理进程控制块
• Nginx中用红黑树管理定时器
• IO多路复用epoll实现采用红黑树管理sockfd

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/3163032/blog/4850482