多项式 | 易学教程

一类问题：给定一个 $n$ 次多项式 $F(x)$ 和一个 $m$ 次多项式 $G(x)$，请求出多项式 $Q(x)$，$R(x)$，满足以下条件：

$Q(x)$ 次数为 $n−m$，$R(x)$ 次数小于 $m$
$F(x)=Q(x)∗G(x)+R(x)$

所有的运算在模 $998244353$ 意义下进行。　

多项式求逆

<a herf="http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-division">放一篇博客</a>。直接做多项式的除法是无从下手的，或者说没有很优秀的方法可以优化它的复杂度。

然而逆元是个很方便的东西，乘法和除法是一对互逆运算，于是想到可以找到多项式 $G(x)$ 的逆元 $G^{-1}(x)$ 而转变成 $NTT$ 解决的多项式乘问题。

我们设 $B(x)$ 是 $A(x)$ 在模 $x^n$ 意义下的逆元，有 $A(x)B(x) \equiv 1 (mod\ x^n)$，下面列出几条规律。

当 $n=1$ 时，$A(x)=c$，$c$ 是一个常数，则 $B(x)=c^{-1}$。

当 $n>1$ 时，假设在 $(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil)}$ 意义下 $A(x)$ 的逆元是 $B^′(x)$，并且我们已经求出，那么：$A(x)B^′(x) \equiv 1(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})$

而且在 $mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}$ 下也有：$A(x)B(x) \equiv 1(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})$

然后就可以得到：$B(x)−B^′(x) \equiv 0(mod\ x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})$

两边平方 $B^2(x)−2B^′(x)B(x)+B^{′2}(x) \equiv 0(mod\ x^n)$

然后同时乘上 $A(x)$，移项可以得到 $B(x) \equiv 2B^′(x)−A(x)B^{′2}(x)(mod\ x^n)$，由此式即可得到逆元。　

$Code：$

#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long u64;

const int mod = 998244353;
const int maxn = 600000 + 10;
int n, r[maxn], bit[maxn]; u64 f[maxn], inv[maxn], tmp[maxn];

inline int read() {
  register char ch = 0; register int w = 0, x = 0;
  while( !isdigit(ch) ) w |= (ch == '-'), ch = getchar();
  while( isdigit(ch) ) x = (x * 10) + (ch ^ 48), ch = getchar();
  return w ? -x : x;
}

inline u64 Fast_pow(u64 a, int p) {
  u64 x = a, ans = 1ll;
  for( ; p; x = x * x % mod, p = p >> 1) if( p & 1 ) ans = x * ans % mod;
  return ans;
}

inline void Number_theory_transform(u64 *a, int limit, int type) {
  int rado = bit[limit];
  for(int i = 0; i < limit; ++i) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (rado - 1));
  for(int i = 0; i < limit; ++i) if( i < r[i] ) swap(a[i], a[r[i]]);
  for(int mid = 1; mid < limit; mid = mid << 1) {
    u64 Base_p = Fast_pow(3ll, (mod - 1) / (mid << 1));
    if( type == -1 ) Base_p = Fast_pow(Base_p, mod - 2);
    for(int l = 0, length = mid << 1; l < limit; l = l + length) {
      for(int k = 0, p = 1; k < mid; ++k, p = p * Base_p % mod) {
        u64 x = a[l + k], y = p * a[l + mid + k] % mod;
        a[l + k] = (x + y) % mod, a[l + mid + k] = (x - y + mod) % mod;
      }
    }
  }
  if( type == -1 ) for(int i = 0; i < limit; ++i) a[i] = a[i] * Fast_pow(limit, mod - 2) % mod;
}

inline void Inverse_transform(u64 *a, u64 *b, int limit) {
  if( limit == 1 ) { b[0] = Fast_pow(a[0], mod - 2); return ; }
  Inverse_transform(a, b, (limit + 1) >> 1);
  int len = limit << 1;
  for(int i = 0; i < limit; ++i) tmp[i] = a[i];
  for(int i = limit; i < len; ++i) tmp[i] = 0;
  Number_theory_transform(tmp, len, 1);
  Number_theory_transform(b, len, 1);
  for(int i = 0; i < len; ++i) b[i] = (2 * b[i] % mod - (b[i] * b[i] % mod) * tmp[i] % mod + mod) % mod;
  Number_theory_transform(b, len, -1);
  for(int i = limit; i < len; ++i) b[i] = 0;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
  freopen("..\\nanjolno.in", "r", stdin);
  freopen("..\\nanjolno.out", "w", stdout);

  scanf("%d", &n);
  for(int i = 0; i < n; ++i) f[i] = read();
  int limit = 1, rado = 0;
  while( limit <= n ) limit = limit << 1, ++rado;
  for(int i = 0; i < 20; ++i) bit[1 << i] = i;
  Inverse_transform(f, inv, limit);
  for(int i = 0; i < n; ++i) printf("%lld ", inv[i]);

  fclose(stdin), fclose(stdout);
  return 0;
}

多项式除法与取模

有了逆元，事情就简单了很多，但是依然只是个开始。

考虑最初的式子 $F(x)=Q(x)∗G(x)+R(x)$，要求得 $Q(x)$ 最大的障碍就是 $R(x)$，于是就想把 $R(x)$ 通过一定的方法试试能不能消掉。

把上式的 $x$ 全部用 $\frac{1}{x}$ 来替代，然后等式两边同时乘上 $x^n$，这意味着对于一个多项式其系数会全部反转，等式变成了：

$F^R(x)=Q^R(x)G^R(x)+x^{n−m+1}R^R(x)$

这样，$Q(x)$ 是要求的元素之一，反转后次数仍然不高于 $n−m$，而 $x^{n−m+1}R(x)$ 这个部分的最低次项高于 $n−m$，放到 $mod\ x^{n−m+1}$ 意义下，$R(x)$ 的影响被消除了。

于是 $F^R(x)=Q^R(x)G^R(x)(mod\ x^{n−m+1})$。

这样就只需要求一个 $G^R(x)$ 的逆元，就可以利用多项式常用的倍增方法得到 $Q^R(x)$，那么显然，$R(x)=F(x)-G(x)Q(x)$。　

$Code：$

inline int Limit(int len) { for(int i = 1; ; i = i << 1) if( i > len ) return i; }

inline void Multiply_transform(u64 *a, u64 *b, u64 *c, int len_1, int len_2) {
  int len = Limit(len_1 + len_2);
  for(int i = 0; i <= len_1; ++i) tmp_1[i] = a[i];
  for(int i = 0; i <= len_2; ++i) tmp_2[i] = b[i];
  Number_theory_transform(tmp_1, len, 1);
  Number_theory_transform(tmp_2, len, 1);
  for(int i = 0; i < len; ++i) c[i] = tmp_1[i] * tmp_2[i] % mod, tmp_1[i] = tmp_2[i] = 0;
  Number_theory_transform(c, len, -1);
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
  for(int i = 0; i < 20; ++i) bit[1 << i] = i;
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for(int i = 0; i <= n; ++i) f_1[i] = read();
  for(int i = 0; i <= m; ++i) f_2[i] = read();
  reverse(f_1, f_1 + n + 1), reverse(f_2, f_2 + m + 1);
  Inverse_transform(f_2, inv, Limit(n - m));
  Multiply_transform(f_1, inv, ans, n - m, n - m);
  reverse(ans, ans + n - m + 1);
  for(int i = 0; i <= n - m; ++i) printf("%lld ", ans[i]); printf("\n");
  reverse(f_1, f_1 + n + 1), reverse(f_2, f_2 + m + 1);
  Multiply_transform(ans, f_2, mul, n - m, m);
  for(int i = 0; i < m; ++i) printf("%lld ", (f_1[i] - mul[i] + mod) % mod); printf("\n");

  return 0;
}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与君相遇，乃思长生。

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4280052/blog/3654559

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