- 多元函数求偏导数时注意区分那些是自变量，那些是函数，以及函数的自变量是什么。自变量之间的偏导都是零，而针对函数的偏导则不一定是零。 例：在计算阿尔芬波色散关系的时候有这样的式子： $$\frac{d}{dx}[(\omega^2-\omega_A^2(x))\frac{dU(x)}{dx}]$$ 上式中$\frac{d}{dx}$作用到$\omega^2$上就是0，但是作用到$\omega_A^2(x)$则非零，因为$x,\omega$都是自变量，而$\omega_A^2$则是函数。
- 多元傅立叶变换中的等价性： 对于$U(\vec{r},t)\to U(x)e^{i(k_y y+k_z z-\omega t)}$，这时如果有梯度算符$\nabla$作用到U上，则梯度算符$\nabla$与波数$\vec{k}=k_y\vec{e_y}+k_z\vec{e_z}$并不等价。而是有等价关系： $$\nabla\Leftrightarrow (\vec{e_x}\frac{d}{dx}+i\vec{k})$$
- 平衡量的微分 物理中的平衡量一般而言都是针对时间的平衡量$A_0=A_0(\vec{r})$，所以对空间变量的微分未必是零。 $\frac{\partial A}{\partial t}=0,\ \frac{\partial A}{\partial x}\neq 0$
- 微分算符的可交换性 在物理问题中常常出现连续作用的微分算符，有些微分算符还是一些比较复杂的运算。一般而言，只要是相互独立的微分算符都是可以交换顺序的。因为实际物理问题中的多元函数一般都是可微的，并没有数学中要求的那么严格。 例如：$\textit{D}=(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{1}{\rho_0\mu_0}(\vec{B_0}\cdot\nabla)^2)$，这个算符同时也是x的函数而与y,z无关。所以$\textit{D}$不可以与$\frac{\partial}{\partial x}$交换顺序，但是可以与$\frac{\partial}{\partial y}$或$\frac{\partial}{\partial z}$交换顺序。即：$\frac{\partial}{\partial x}(\textit{D}f) \neq \textit{D}\frac{\partial f}{\partial x}$，但是可以有$\frac{\partial}{\partial y}(\textit{D}f)=\textit{D}\frac{\partial f}{\partial y}$.
- 极限运算与微积分运算的可交换性 极限运算和微分运算，极限运算和积分运算都是可以交换先后顺序的，因为无论积分运算或者是微分运算，都是利用极限运算来定义的。
- 对时间的全导数和偏导数是不等价的 假设有一个时变的标量场$Q=Q(\vec{r},t)$则有如下关系： $\frac{dQ}{dt}=\frac{\partial Q}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla Q\neq \frac{\partial Q}{\partial t}$
- 物理规律的适用条件 从哲学的角度来讲，人类目前领悟的物理定律都源于对自然现象的总结归纳，都还只是对宇宙中绝对真理(自然规律)的近似，所以和真正的自然现象还会存在一定的误差。就连我们已经掌握的物理定律在不同条件下都有不同的近似。 例：牛顿第二定律， $$ \begin{equation} \vec{F}=\frac{d}{dt}(m\vec{v})= \left{ \begin{array}{l} m\frac{d\vec{v}}{dt} & (low\ speed)\ \frac{dm}{dt}\vec{v}+m\frac{d\vec{v}}{dt} & (high\ speed\ v \approx c) \end{array} \right. \end{equation} $$ 例：流体连续方程， $$ \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho \vec{v})=0\Leftrightarrow \begin{array}{l} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\rho \nabla\cdot\vec{v}=0 & (non-compressible\ fluid)\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\rho\cdot\vec{v}+\rho \nabla\cdot\vec{v}=0 & (compressible\ fluid) \end{array} \end{equation} $$
来源：oschina
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