读书笔记: 博弈论导论 - 总结

总结

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记的总结。

博弈论

博弈论是关于智能理性决策者的协作和冲突的数学模型的研究。

博弈论的目的可以说是研究寻找博弈均衡的方法。博弈论的直接目标不是找到一个玩家的最佳策略，而是找到所有玩家的最理性策略组合。我们称最理性策略组合为均衡。

博弈论（也叫逆向博弈论）的另外一个作用是机制设计，根据期望的结果，设计一个博弈体系。

博弈论的分类

这本书中将博弈论的只是分为四类：

完整信息的静态博弈
完整信息的动态博弈
不完整信息的静态博弈
不完整信息的动态博弈

博弈论的数学模型

普通形式博弈(normal-form game)的数学表达
1. 一个有限的玩家集合, $N = {1, 2, \cdots, n}$
2. 每个玩家的纯策略集合的组合, ${S_1, S_2, \cdots, S_n}$
3. 一套收益函数, ${v_1, v_2, \cdots, v_n}$，对于每个玩家，每一种所有玩家选择的策略组合，都有一个收益值。 $v_i: S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n \text{ for each } i \in N $
贝叶斯博弈(Bayesian Game) 用于描述不完整信息博弈。 $$ \left \langle N, { A_i }{i=1}^n, { \Theta_i }{i=1}^n, { v_i(\cdot; \theta_i), \theta_i \in \Theta_i }{i=1}^n, { \phi_i }{i=1}^n \right \rangle \ where \ N = { 1,2,\cdots, n} \text{ : is the set of players} \ A_i \text{ : the action set of player i} \ \Theta_i \text{ : the type space of player i} \ v_i : A \times \Theta_i \to \mathbb{R} \text{ : type dependent pay of function of player i} \ \phi \text{ : the belief of player i with respect to the uncertainty over the other players' types} \ \phi(\theta_{-i} | \theta_i) \text{ : the posterior conditional distribution on } \theta_{-i} $$

术语

静态博弈(static game) vs 动态博弈(dynamic game) 静态博弈指所有玩家同时、独立做出选择。也叫做同时博弈(Simultaneous game) 动态博弈指所有玩家按照次序做出选择。也叫做序贯博弈(Sequential game)、序列博弈。
完整信息博弈(Complete information game) and 不完整信息博弈(Incomplete information game) 完整信息博弈是指所有知识被所有玩家都了解，就是成为了公共知识。不完整信息博弈是指一个玩家不知道其他玩家的部分信息(actions, outcomes, payoffs)。
完美信息博弈(Information perfect game) vs 不完美信息博弈(Information imperfect game) 完美信息博弈指一个玩家知道对手做出了选择，并且知道对手的选择是什么。比如：围棋。不完美信息博弈指一个玩家知道对手做出了选择，但是不知道对手的选择是什么。比如：德州扑克。
普通形式博弈(Normal-Form Game) vs 扩展形式博弈(Extensive-Form Game) 博弈的数学化定义方式。普通形式博弈比较简单，适用描述信息较少的情况，比如：两个玩家的纯策略的静态博弈。扩展形式博弈用于形式化描述博弈。无论完美信息还是不完美信息，完整信息还是不完整信息都可以。针对不完美信息，支持信息集的概念。针对不完整信息，支持Nature和类型概念。
Subgame-perfect equilibrium 这里主要说perfect这个词，这个词和equilibrium用在一起时，常常有精炼(refinement)的意思，表示优化均衡的结果。
序贯(sequential) 序贯表示连续的。
信念(beliefs)，玩家i的一个信念就是他的对手们的一个可能的策略组合。
最佳反应(Best Response) 当其他玩家策略已知时，玩家i的优势策略就是其最佳反应。这是博弈论的中心。理性，序贯理性的意味就是最佳反应。均衡的结果也来自于最佳反应。最佳反应：对于玩家i，给定其对其他玩家的信念，他会选择在这个信念上对自己最好的行为。
序贯理性(Sequential Rationality) 在博弈中的每个阶段，玩家都保持理性。
信任系统(a system of beliefs) 对每个信息集上一个行动的选择概率。见后面的数学定义。
信誉(Reputation) 在博弈论中，玩家为了证明自己的信誉（自己的类型），会选择一种行为，这种行为只会对自己的类型有益，而对其它类型有损失。

经典博弈问题

囚徒困境(Prisoner's Dilemma) 两个囚徒选择沉默(mum)和告密(flink)的一个静态博弈问题。

		玩家2
		m	f
玩家1	M	4, 4	-1, 5
	F	5, -1	1, 1

报复博弈(Revenge Game) 报复博弈一般和囚徒困境组成一个两阶段博弈。两个囚徒在玩完囚徒困境后，进入报复博弈，选择单独人(loner)和加入帮派(gang)的一个静态博弈问题。

		玩家2
		l	g
玩家1	L	0, 0	-4, -1
	G	-1, -4	1, 1

古诺双寡头(The Cournot Duopoly)
(p-Beauty Contest)
两性之争(the Battle of the Sexes)

策略

一个策略是一个玩家在博弈中，根据当时的情况，选择其行动的逻辑。策略有各种各样的。我们可以想象每个策略都是如果这样，我就选择行动X，等等。博弈理论中定义了一些策略。

纯策略(Pure Strategy) 玩家总是选择一个特定的行动。
混合策略(Mixed Strategy) 玩家在选择行动上有一个可能性分布。但是最终会选择一个纯策略。
行为策略(Behavioral Strategy) 玩家在选择行动上有一个可能性分布。一般用于动态博弈的自然选择，所以总是使用这个可能性分布来计算（期望收益等）。

正式的说法是：对每个信息集指定一个行动上的独立可能性分布。
条件选择策略(Conditional Play) 如果怎样，我会怎样的策略。
奖罚策略(Reward-and-punishment Strategy) 好行为被奖励，坏行为被惩罚的策略。用于多阶段博弈。
残忍触发策略(Grim-trigger strategy) 在第一阶段上选择一个合作（符合子博弈精炼均衡）的行动；在以后的阶段里，继续选择这个合作行动，当且仅当对方也一直选择合作的行动；否则选择惩罚性的行动。
使用第三方作为信誉机制(Third-Party Institutions as Reputation Mechanisms) 在多阶段博弈中，如何保证协作的一种机制。玩家1：如果玩家2支付保证金给玩家3（第三方），则信任玩家2，否则不信任。玩家2：在阶段1，支付保证金给玩家3。在以后的阶段中，如果玩家3一直遵守保证金协议，则继续支付保证金。如果支付保证金了，则于玩家1合作，否则叛变。玩家3：（保证金协议）在一个阶段中，如果玩家2合作，则返回保证金给玩家2；否则不返回保证金。
不使用第三方的信誉机制(Reputation Transfers without Third Parties) 在多阶段博弈中，如何保证协作的一种机制。玩家$P_1^1$：如果玩家$P_2^1$创建了一个唯一的商标，则信任玩家$P_2^1$，否则不信任。玩家$P_2^1$：在阶段1，选择一个唯一的商标，和玩家1合作。然后，把商标以价格$p^* > 1$卖给下家（玩家$P_2^2$）。玩家$P_1^t(t>1)$：如果1) 玩家$P_2^t$从玩家$P_2^{t-1}$手里买了这个唯一的商标，2) 而且这个商标没有被滥用（叛变）过，则信任玩家$P_2^t$，否则不信任。玩家$P_2^t(t>1)$：如果1) 玩家$P_2^{t-1}$从玩家$P_2^{t-2}$以价格$p^$手里买了这个唯一的商标，2) 而且这个商标没有被滥用（叛变）过，和玩家$P_1^t(t>1)$合作。然后，把商标以价格$p^$卖给下家（玩家$P_2^{t+1}$）。

方法

严格劣势策略(strictly dominated strategy) 一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。
优势策略(Dominant Strategy) 如果有的话，玩家一定会选择优势策略。
帕累托优势(pareto dominate)
重复剔除严格劣势均衡(Iterated elimination of strictly dominated strategies (IESDS)) 如果能够找到一个严格劣势策略，将其删除掉，简化了博弈；然后在简化的博弈中，重复上面的过程，直到有一个优势策略为止。
纳什均衡(Nash equilibrium) 纳什均衡的定义是：在一个策略组合中，如果一个玩家i，当其他所有玩家的策略都不变时（是这个策略组合中的玩家策略），玩家i的策略是个最佳反应。如果这个条件对每个玩家都成立，则这个策略组合是一个纳什均衡。纳什均衡的概念可以从纯策略组合，推广到混合策略（期望收益）、（动态博弈的）行为策略、（不完整信息）贝叶斯纳什均衡。

纳什证明了每个博弈都至少有一个纳什均衡。

纳什均衡相当于在博弈论中发现了一个新大陆。一个问题是纳什均衡的解往往很多，因此，有一个精炼的概念，就是我们常常看到词perfect，其目的是近一步减少纳什均衡的解。

子博弈精炼(Subgame perfection) 子博弈精炼是对纳什博弈的一种优化。要求对于一个行为策略组合$\sigma^$，满足在任何一个合适的子博弈中，这个行为策略组合$\sigma^$都是一个纳什均衡。
逆向归纳法(Backward induction solution) 在扩展形式博弈树中，可以形象的看出：从底层开始，玩家在每个父节点的子节点集合中，选择出(最佳反应的)其会获得最大收益的行为。每个父节点会对应一个或者几个最佳反应节点。将这些节点的收益值作为其父节点的收益值。重复迭代可以找到所有玩家的一个子博弈精炼均衡。
贝叶斯纳什均衡(Bayesian Nash equilibrium) 可以说是纳什均衡在不完整信息博弈中的扩展。大概的意思是计算了其他玩家类型的分布概率上的收益期望。注意：子博弈精炼不适用于不完整信息博弈，主要原因是不知道其他玩家的类型，导致在子博弈上难以确定收益。
精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium) 在不完整信息博弈中，精炼贝叶斯均衡是一个贝叶斯纳什均衡和一个信任系统的组合，并需要满足下面四个需求： 精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)的四个需求：
- 需求 15.1 每个玩家在每个信息集上，都将有一个意义明确的信念（关于他的位置）。也就是说博弈将有一个信念体系。
- 需求 15.2 $\sigma^* = (\sigma_1^, \cdots, \sigma_n^)$是一个不完整信息博弈的贝叶斯纳什均衡，我们要求在所有信息集上，在均衡路径上的信念符合贝叶斯规则。
- 需求 15.3 对于不在均衡路径上的信息集，其信念值可以是任何值。
- 需求 15.4 给定玩家的信念，玩家的策略必须是序贯理性。也就是说在每一个信息集上，玩家将选择信念对应的最佳反应。

原理

单阶段偏差原理(The One-Stage Deviation Principle)

在理解单阶段偏差原理之前，我们先回顾一些背景知识：

每个博弈都存在至少一个纳什均衡。
在有限多阶段博弈中，如果每个阶段博弈都有唯一的纳什均衡，则多阶段博弈的最优结果就是这些纳什均衡的组合（的路径）。
在有限多阶段博弈中，如果至少有一个阶段博弈有多个的纳什均衡，则多阶段博弈的最优策略组合可能会偏离阶段博弈的纳什均衡。

那么在多阶段博弈中，在多阶段博弈的扩展形式博弈树(extensive-form game tree)上，一条路径的收益是容易得到的，只要求出每个阶段博弈的收益总和就可以了。这样，我们也可以比较容易计算两条路径中，哪个更优（一般和折扣率有关）。

问题是：对于玩家i来说，当其他玩家的策略组合$\sigma_i$给定的时，如何找到玩家i的最佳反应(best response)？ 注：这里的策略可以是任何策略，比如纯策略，混合策略，条件策略等。 这里边，一个比较麻烦的问题是路径太多。比如：考虑一下一个有五个阶段的博弈。幸运的是，上面这个骇人的问题可以被简化- 这就是单阶段偏差原理。

单阶段偏差原理的含义是，当其他玩家的策略组合$\sigma_i$给定的时，判断玩家i的一条路径是否最优，只要看这个路径（策略）是不是单点不可改善(one-shot unimprovable)。因此只要检测和它有一个信息集不同的那些路径就可以了。比如：如果一个阶段博弈有A和B两个行动，在一个三阶段的重复博弈中，判断一条玩家的路径（策略）AAA是否是不可改善，只需要对比BAA，ABA和AAB就可以了。很明显，这个原则只适合于有限多阶段博弈。

其实原书中，对于Prisoner-Revenge Game，计算折扣率，可以看成对单阶段偏差原理的过程描述，只不过只是比较两个路径。

下面加上书中的定义和定理，以供参考。单阶段偏差原理表述如下:

一个阶段的不可改善策略必定是最优的。这意味着，如果在一个阶段博弈中，存在一个单阶段不可改善策略，则不会发生偏离，也就是不存在非纳什均衡的最优策略。反之，则一定会发生偏离的情况。

单阶段不可改善策略的定义如下：

一个策略$\sigma_i$是单阶段不可改善的，则: 不存在信息集$h_i$和行动$a \in A_i(h_i)$和对应的策略$\sigma_i^{a, h_i}$（其为除了信息集$h_i$以外，和$\sigma_i$都一致的策略），有$\sigma_i^{a, h_i} > v_i(\sigma_i, h_i)$。

参照见One-shot deviation principle

基本数学符合

$\Gamma$: 博弈(game) $N$: 玩家(player)集合 $i$: 玩家i, $i \in N$ $X$: 结果(outcome)集合。 $X_i$: 玩家i的结果(outcome)集合。 $x_i$: 玩家i的一个结果(outcome)。

$S$: 策略集合(strategy set), $S \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n$. $S_i$: 玩家i的策略集合(strategy set) $S_{-i}$: 除去玩家i的策略集合(strategy set), $S_{-i} \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots \times \S_{i-1} \times \S_{i+1} \times \cdots \times S_n$. $s = (s_1, s_2, \cdots, s_n)$: 表示所有玩家的一个策略组合。 $s_i$: 玩家i的一个策略(strategy)，$s_i \in S_i$。 $s_{-i} = (s_1, s_2, \cdots, s_{i-1}, s_{i+1}, \cdots, s_n)$: 表示除了玩家i，以外的所有玩家的一个策略组合。 $A_i$: 玩家i的行动集合。 $a_i$: 玩家i的一个行动，$a_i \in A_i$。 $\mathbb{R}$AAAAA: 实数。 $u_i: X \to \mathbb{R}$: 玩家i的收益函数，基于一个结果组合。 $v_i: s \to \mathbb{R}$: 玩家i的收益函数，基于一个策略组合。 $H_i$: 玩家i的信息集的集合 $h_i$: 玩家i的一个信息集，$h_i \in H_i$。 $A_i(h_i)$: 玩家i的一个信息集$h_i$对应的行动集合。 $s_i(h_i)$: 玩家i的一个纯策略。$s_i(h_i) \in A_i(h_i)$ $T$: 多阶段博弈的所有时期。 $t$: 多阶段博弈的一个时期。

$p(x_k | a)$: 采取行动a时，产生结果$x_k$的概率。 $E(u(x) | a)$: 采取行动a的期望收益。 $0 < \delta < 1$: （多阶段博弈中的）折扣率。

动态博弈(Dynamic Game)

策略组合$\sigma = (\sigma_1, \cdots, \sigma_n)$: 一个动态博弈的混合策略组合(mixed strategies profile)。

不完整信息博弈

$\Theta$ : 所有玩家的类型空间(type space)集合。 $\Theta_i = { \theta_{i1}， \cdots， \theta_{ik}}$ : 玩家i的类型空间(type space)。 $\theta_i$ : 玩家i的类型(type)。 $\theta_{-i}$ : 除了玩家i以外其他玩家的类型(type)。 $\phi_i$ : 玩家 i 对其他玩家 type 的信任分布概率。 $v_i(a; \theta_i)$ : 当在type $\theta_i$下，依赖于一个行动组合的玩家收益函数，

机制设计

$m_i \in \mathbb{R}$ : 玩家i的资金。 $Y$ : 所有玩家（机制设计的）结果组合集合。 $y = (x, m_1, \cdots, m_n)$ : 所有玩家（机制设计的）一个结果组合。 $\Gamma = \langle A_1, \cdots, A_n, g(\cdot) \rangle$ : 一个机制。

不完整信息的动态博弈

$\mu$: 信任系统(a system of beliefs)，对每个信息集上一个行动的选择概率。 $$ \mu(x) \in [0, 1] \ \sum_{x \in h} \mu(x) = 1, \forall h \in H $$

参照

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4343669/blog/4230067

标签

贝叶斯

bayesian