HYGGE 高数上册极限与微分

首先，我们要记住一些基本的定义：

1.连续：设函数y=f(x)在点x0的领域内有定义,如果lim_(△x->0)△y=lim_(△x->0)(f(x0+△x)-f(x0))=0,那么就称函数y=f(x)在点x0处连续,也可定义如下：设函数y=f(x)在点x0的领域内有定义，如果lim_(x->x0)f(x0)=f(x0),那么就称y=f(x)在点x0处连续。

2.导数：设函数y=f(x)在点x0的领域内有定义,当自变量x在x0处取得增量△x(点x0+△x仍然在该领域内)时,相应地,因变量取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0);如果△y于△x之比当x->x0时极限存在，那么称函数y=f(x)在x0处可导,并且这个极限为函数y=f(x)在点x0的导数,记做f’(x),即f’(x0)=lim_(△x->0)(△y/△x)=lim_(△x->0)(f(x0+△x)-f(x0))/△x,也可记做y’|x=x0或者dy/dx|x=x0.

3.函数可导性与连续性的关系：可导必然连续，但是连续不一定可导,eg.f(x)=|x|.连续是可导的前提条件。

4.一些基本的导数公式：(arctan x)’=1/(1+x²),(arccot x)’=-1/(1+x²)

5.求导常用的公式集合：(u+v)⁽ⁿ⁾,

　　(sin x)⁽ⁿ⁾=sin(x+n*π/2),

　　(cos x)⁽ⁿ⁾=cos(x+n*π/2),

　　ln(x+1)=(-1)^n-1*(n-1)!/(1+x)  and sec.

比较记忆：泰勒公式 e^x =1+x+x²/2!+...+x^n/n!+o(xⁿ) ,     

　　sin x=x-1/3! *x³ +...+(-1)ⁿ/(2n+1)! *x²ⁿ⁺¹  +o(x²ⁿ⁺²),

　　cos x=1-1/2! *x²+...+(-1)ⁿ/(2n)! *x²ⁿ  +o(x²ⁿ⁺¹),

　　ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+...+(-1)^n-1*xⁿ/n+o(xⁿ).

 

来源：oschina

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