用Python学《微积分B》（定积分）

本文主要学习《微积分B》第7章——“定积分的概念和存在条件”，结合课程中的知识进行一些扩展，并用Python辅助求解课后练习题。关于定积分（Definite Integral）的概念，课本中只介绍了“黎曼积分”（Riemann Integral），而wiki上对定积分的介绍更全面：Integral-Wikipedia。此外，再介绍一个好玩的数学知识讲解网站：Math is fun，它上面对Integration和Definite Integral进行了非常形象的讲解，值得一看。

黎曼积分
矩形逼近法
“可积”的条件
速度表与里程表
练习题解答

一、知识点

1，Riemann Integral

Riemann积分是从求曲线在某区间内与x轴围成的区域的面积出发，分为五个步骤推演出来的。这五个步骤分别是（详见Integral-Wikipedia）：
1）分割
如上图所示，将区间[a, b]“任意”分割成n份。其中， a=x0<x1<x2<...<xn−1<xn=b a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n − 1 < x n = b <script type="math/tex" id="MathJax-Element-190">a=x_{0} <... 任意的，从上图也可以看出，各分割区域（ 子区间）并不相等。我们先引入一个描述分割程度的量 λ=max{ Δxi} λ = m a x { Δ x i } <script type="math/tex" id="MathJax-Element-191">\lambda = max{\{\Delta x_{i}\}}</script>，其中， Δxi Δ x i <script type="math/tex" id="MathJax-Element-192">\Delta x_{i}</script>表示各子区间的大小。
2）取点
在各子区间上任取一点，如上图所示，有些点取在子区间的左端点（ x∗1,x∗5 x 1 ∗ , x 5 ∗ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-193">x_{1}^{*},x_{5}^{*}</script>），有些点取在子区间的右端点（ x∗2,x∗3 x 2 ∗ , x 3 ∗ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-194">x_{2}^{*},x_{3}^{*}</script>），有些取在任意中间点（ x∗4 x 4 ∗ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-195">x_{4}^{*}</script>）。需要注意的是：Riemann积分的推演，在分割和取点时，都是任意的。网上很多图片都没有真正反映这两个“任意性”，要么分割时进行的是等分，要么取点只取左端点或右端点。这张图是我难得才找到的，能够很好反映这两个“任意性”的图。
3）近似
在计算各子区间所围成的面积时，将它近似地当作一个 { height:f(ξi),width:Δxi} { h e i g h t : f ( ξ i ) , w i d t h : Δ x i } <script type="math/tex" id="MathJax-Element-196">\{height:f(\xi _{i}),\; width:\Delta x_{i}\}</script>的矩形。这就是“矩形逼近”法。为什么能够这样近似，后面我将给出一个“粗略的证明”。
4）取极限，求和

lim λ \to 0 + \sum i = 0 n [f (ξ i) * Δ x i] = \int b a f (x) d x lim λ \to 0 + \sum i = 0 n [ f ( ξ i ) * Δ x i ] = \int a b f ( x ) d x

Δ y = f' (x) Δ x + O [(Δ x) 2] Δ y = f ' ( x ) Δ x + O [ ( Δ x ) 2 ]

ϵ S = n * ϵ i = 1 Δ x * O [(Δ x) 2] = O (Δ x) ϵ S = n * ϵ i = 1 Δ x * O [ ( Δ x ) 2 ] = O ( Δ x )

S t i = a + b 2 * Δ x i, S r i = f (ξ i) * Δ x i S t i = a + b 2 * Δ x i , S r i = f ( ξ i ) * Δ x i

S t i = a + b 2 * Δ x i = [f (x i - 1) + d y i 2] * Δ x i = [f (x i - 1) + f' (ξ i) 2 Δ x i] * Δ x i = f (x i - 1) * Δ x i + O [(Δ x i) 2] S t i = a + b 2 * Δ x i = [ f ( x i - 1 ) + d y i 2 ] * Δ x i = [ f ( x i - 1 ) + f ' ( ξ i ) 2 Δ x i ] * Δ x i = f ( x i - 1 ) * Δ x i + O [ ( Δ x i ) 2 ]

ϵ S = n * ϵ i = 1 Δ x * O [(Δ x) 2] = O (Δ x) ϵ S = n * ϵ i = 1 Δ x * O [ ( Δ x ) 2 ] = O ( Δ x )

D (x) = {10 x \in Q x \in R ∖ Q D ( x ) = { 1 x \in Q 0 x \in R ∖ Q

lim x \to 0 + D (ξ i) * Δ x i {ξ i \in [x i - 1, x i] = 1 ξ i \in [x i - 1, x i] = 0 \in Q \in R ∖ Q lim x \to 0 + D ( ξ i ) * Δ x i { ξ i \in [ x i - 1 , x i ] = 1 \in Q ξ i \in [ x i - 1 , x i ] = 0 \in R ∖ Q

f \in R [a, b] \Leftrightarrow lim λ \to 0 + \sum i = 1 n Δ ω i (f) Δ x i = 0 f \in R [ a , b ] \Leftrightarrow lim λ \to 0 + \sum i = 1 n Δ ω i ( f ) Δ x i = 0

二、速度表与里程表

Scott Young 在《如何高效学习》一书中调到他是如何借助日常生活中常见的汽车仪表盘上的“速度表与里程表”来理解导数的，这个例子给我了深刻的印象，特此分享给大家。
汽车仪表盘上的“速度表与里程表”相信大家都不陌生，没想到它们是绝佳的“导数和积分”的应用案例。先来看“导数”（导函数）：
想象一下，以时间为 x 轴，里程数为 y 轴，可以画一幅“时间-里程”曲线图；类似地，以时间为 x 轴，以速度为 y 轴，也可以画一幅“时间-速度”曲线图。这两幅图有什么联系呢？
事实上，只需要对“时间-里程”曲线求导——计算曲线的斜率，即可得到任意一个时间点的速度。也就是说，“时间-速度”曲线是“时间-里程”曲线的导函数。
再来看“定积分”：
如果已经有了一幅“时间-速度”曲线图，我们是否可以画出“时间-里程”曲线呢？当然可以，只需要对“时间-速度”曲线进行定积分，即可得到任意时间点的里程数。形象点说，“时间-速度”曲线与 x 轴围成的面积就是某时间点的里程数，它是前面所有时间点里程数的累加（黎曼和）。

三、思考题

1，判断下列两个函数在[-1,1]区间是否可积？

f (x) = {x + 1, e x, x \leq 0 x > 0 f ( x ) = { x + 1 , x \leq 0 e x , x > 0

g (x) = {x, e x, x \leq 0 x > 0 g ( x ) = { x , x \leq 0 e x , x > 0

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Polygon

a, b, c = -1, 0, 1    # integral limits
x1 = np.linspace(-2, 0)
y1 = x1
x2 = np.linspace(0, 2)
y2 = np.exp(x2)

fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x1, y1, 'b', linewidth=2, zorder=10)
plt.plot(x2, y2, 'g', linewidth=2, zorder=10)
#plt.grid(True, zorder=5)

# make the shaded region
ix1 = np.linspace(a, b)
iy1 = ix1
verts = [(a, 0)] + list(zip(ix1, iy1)) + [(b, 0)]
poly = Polygon(verts, facecolor='0.9', edgecolor='0.5')
ax.add_patch(poly)

ix2 = np.linspace(b, c)
iy2 = np.exp(ix2)
verts = [(b, 0)] + list(zip(ix2, iy2)) + [(c, 0)]
poly = Polygon(verts, facecolor='0.9', edgecolor='0.5')
ax.add_patch(poly)

l = plt.axhline(color='red')
#plt.text(0.5 * (a + b), 30, r"$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$",
#         horizontalalignment='center', fontsize=20)

plt.figtext(0.9, 0.05, '$x$')
plt.figtext(0.1, 0.9, '$y$')

ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')

ax.set_xticks((a, b, c))
ax.set_xticklabels(('$-1$', '$0$', '$1$'))
ax.set_yticks((0,))
ax.set_yticklabels(('$0$',))
plt.show()

这里写图片描述

2，证明：

lim n \to + \infty \int 10 x n x 2 + 1 d x = 0 lim n \to + \infty \int 0 1 x n x 2 + 1 d x = 0

\int 10 x n x 2 + 1 d x = ξ n ξ 2 + 1, ξ \in (0, 1) \int 0 1 x n x 2 + 1 d x = ξ n ξ 2 + 1 , ξ \in ( 0 , 1 )

lim n \to + \infty \int 10 x n x 2 + 1 d x = lim n \to + \infty ξ n ξ 2 + 1 = 0 lim n \to + \infty \int 0 1 x n x 2 + 1 d x = lim n \to + \infty ξ n ξ 2 + 1 = 0

四、选择题

下面先用python直接给出各个求定积分的题的答案。

from sympy import *
init_printing()
#Exercise 7-1-1
x = Symbol('x')
y = integrate(x * atan(x), (x, sqrt(3) / 3, sqrt(3)) )
y, y > pi / 9, y < 2 * pi / 3

(- 3 - \sqrt 3 + 5 π 9, T r u e, T r u e) ( - 3 3 + 5 π 9 , T r u e , T r u e )

#Exercise 7-1-2
x = Symbol('x')
n = Symbol('n', integer=True)
f = x ** n / (x ** 2 + 1)
limit(integrate(f, (x, 0, 1 / 2)), n, +oo)

00

lim n \to + \infty \int 10 x n e x e x + 1 d x = ? lim n \to + \infty \int 0 1 x n e x e x + 1 d x = ?

\int n 1 f (x) d x, \int n + 1 1 f (x) d x, f (1) + \int n 1 f (x) d x, \sum k = 1 n f (k) \int 1 n f ( x ) d x , \int 1 n + 1 f ( x ) d x , f ( 1 ) + \int 1 n f ( x ) d x , \sum k = 1 n f ( k )

\int n + 1 1 f (x) d x \leq \sum k = 1 n f (k) \leq f (1) + \int n 1 f (x) d x \int 1 n + 1 f ( x ) d x \leq \sum k = 1 n f ( k ) \leq f ( 1 ) + \int 1 n f ( x ) d x

lim n \to + \infty \sum k = 1 n 2 n n 2 + k 2 = ? lim n \to + \infty \sum k = 1 n 2 n n 2 + k 2 = ?

\int n + 1 1 n n 2 + x 2 d x \leq \sum k = 1 n n n 2 + k 2 \leq f (1) + \int n 1 n n 2 + x 2 d x \int 1 n + 1 n n 2 + x 2 d x \leq \sum k = 1 n n n 2 + k 2 \leq f ( 1 ) + \int 1 n n n 2 + x 2 d x

a r c a r c t a n (x n) ∣ n + 1 1 \leq \sum k = 1 n n n 2 + k 2 \leq f (1) + a r c a r c t a n (x n) ∣ n 1 a r c a r c t a n ( x n ) ∣ 1 n + 1 \leq \sum k = 1 n n n 2 + k 2 \leq f ( 1 ) + a r c a r c t a n ( x n ) ∣ 1 n

12 = \sum 1 n n n 2 + n 2 \leq \sum k = 1 n n n 2 + k 2 \leq \sum 1 n n n 2 + 12 \leq \sum 1 n n n 2 = 1 1 2 = \sum 1 n n n 2 + n 2 \leq \sum k = 1 n n n 2 + k 2 \leq \sum 1 n n n 2 + 1 2 \leq \sum 1 n n n 2 = 1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as ticker

def func(x):
    n = 10
    return n / (n ** 2 + x ** 2)

a, b = 2, 9  # integral limits
x = np.linspace(0, 11)
y = func(x)
x2 = np.linspace(1, 12)
y2 = func(x2-1)
ix = np.linspace(1, 10, 10)
iy = func(ix)

fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y, 'r', linewidth=2, zorder=15)
plt.plot(x2, y2, 'g', linewidth=2, zorder=15)
plt.bar(ix, iy, width=0.95, color='gray', align='edge', ec='olive', ls='--', lw=2,zorder=10)
plt.ylim(ymin=0)

plt.figtext(0.9, 0.05, '$x$')
plt.figtext(0.1, 0.9, '$y$')

ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.xaxis.set_major_locator(ticker.IndexLocator(base=1, offset=1))
plt.show()

这里写图片描述

如上图所示：红色曲线表示函数f(x)，它在 (0,+∞) ( 0 , + ∞ ) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-54">(0, +\infty)</script>是单减函数，它在[1, n]区间上的积分 ∫n1f(x)dx ∫ 1 n f ( x ) d x <script type="math/tex" id="MathJax-Element-55">\int_{1}^{n}f(x)dx</script>就是红色曲线在区间[1, n]之间与x轴围成的面积； ∑nk=1f(k) ∑ k = 1 n f ( k ) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-56">\sum_{k=1}^{n}f(k)</script>表示对应的矩形面积和。很明显，矩形面积和大于或等于曲线在对应区间与x轴围成的面积。也许你会说，明明只看到大于，怎么会等于呢？那是因为我画图时，取的 n = 10，随着n取值的增大，超出的面积会越来越小，当 n→+∞ n → + ∞ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-57">n\rightarrow +\infty</script>时，是有可能相等的。
再看上图的绿色曲线，它表示函数f(x-1)。很明显，矩形面积和是小于或等于绿色曲线的积分的。下面通过公式推演，将绿色曲线的积分与最右边的式子联系起来：

\int n + 1 1 f (x - 1) d x = \int n 0 f (t) d t = \int n 1 f (t) d t + \int 10 f (t) d t \int 1 n + 1 f ( x - 1 ) d x = \int 0 n f ( t ) d t = \int 1 n f ( t ) d t + \int 0 1 f ( t ) d t

lim n \to + \infty \int 10 f (t) d t f (1) = 1 lim n \to + \infty \int 0 1 f ( t ) d t f ( 1 ) = 1

lim n \to + \infty \int 10 f (t) d t f (1) = lim n \to + \infty f (ξ) f (1) = C, ξ \in (0, 1) lim n \to + \infty \int 0 1 f ( t ) d t f ( 1 ) = lim n \to + \infty f ( ξ ) f ( 1 ) = C , ξ \in ( 0 , 1 )

\int 1 - 1 [s i n 5 (x) + 1 + x 2 - - - - - \sqrt] d x = ? \int - 1 1 [ s i n 5 ( x ) + 1 + x 2 ] d x = ?

\int 1 - 1 1 + x 2 - - - - - \sqrt d x = \int π 2 - π 2 c o s (θ) d [s i n (θ)] = \int π 2 - π 2 c o s 2 (θ) d θ = π 2 \int - 1 1 1 + x 2 d x = \int - π 2 π 2 c o s ( θ ) d [ s i n ( θ ) ] = \int - π 2 π 2 c o s 2 ( θ ) d θ = π 2

\int 1 - 1 x 2 l n (x + 1 + x 2 - - - - - \sqrt) d x = ? \int - 1 1 x 2 l n ( x + 1 + x 2 ) d x = ?

\int 1 - 1 x 2 l n (x + 1 + x 2 - - - - - \sqrt) d x = 13 [x 3 * l n (x + 1 + x 2 - - - - - \sqrt) ∣ 1 - 1 - \int 1 - 1 x 3 d [l n (x + 1 + x 2 - - - - - \sqrt)] = 13 [x 3 * l n (x + 1 + x 2 - - - - - \sqrt) ∣ 1 - 1 - \int 1 - 1 x 3 x 2 + 1 - - - - - \sqrt d x = 13 [x 3 * l n (x + 1 + x 2 - - - - - \sqrt) ∣ 1 - 1 - \int 1 - 1 x 3 x 2 + 1 - - - - - \sqrt d x] \int - 1 1 x 2 l n ( x + 1 + x 2 ) d x = 1 3 [ x 3 * l n ( x + 1 + x 2 ) ∣ - 1 1 - \int - 1 1 x 3 d [ l n ( x + 1 + x 2 ) ] = 1 3 [ x 3 * l n ( x + 1 + x 2 ) ∣ - 1 1 - \int - 1 1 x 3 x 2 + 1 d x = 1 3 [ x 3 * l n ( x + 1 + x 2 ) ∣ - 1 1 - \int - 1 1 x 3 x 2 + 1 d x ]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, np.pi / 2)
y = np.sin(np.sin(x))
y2 = np.cos(np.sin(x))
plt.plot(x, y, 'r', zorder=10)
plt.plot(x, y2, 'g', zorder=10)
plt.grid(True, zorder=5)
plt.show()

这里写图片描述

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4382774/blog/4608466

标签

mathjax

element

Delta

lim