数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。
理论上：
数学上，两个
整数除以同一个整数，若得相同
余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同余理论常被用于
数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家
高斯。同余理论是
初等数论的重要组成部分，是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很
简便的。同余是数学竞赛的重要组成部分。
公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了这样一个问题：一个正整数n何时能成为一个由三个有理平方数形成的等差数列的公差，也就是说x-n，x，x+n都是
平方数。十三世纪，意大利数学家斐波那契指出5和7是同余数，他也猜想1、2、3不是同余数，但未能给出证明。直到1659年，法国大数学家费尔马运用他自己发明的无穷下降法证明了1、2、3不是
同余数。十八世纪，大数学家欧拉首次证明了7是同余数。1952年，
Heegner证明了任意模8余5、7的
素数和任意模4余3的素数的两倍均为同余数。2000年，美国克雷数学研究所公布了
千禧年七大数学难题，每破解其中一个难题者将获得100万美元的奖金。其中就有著名的BSD猜想（全称Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而这个猜想与同余数问题有紧密的联系。2012年，田野证明了存在无穷多个具有任意指定素因子个数的同余数，这是在同余数问题上的一个根本性突破，也首次给出了解决
BSD猜想的线索。
同余符号：
两个整数a、b，若它们除以整数m所得的
余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。
记作：a≡b (mod m)，
读作：a同余于b模m，或读作a与b对模m同余，例如26≡2(mod 12)。
定义
设m是大于1的正整数，a、b是整数，如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b对模m同余。
显然,有如下事实
（1）若a≡0(mod m)，则m|a；
（2）a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
证明
充分性：m|(a-b)→a≡b(mod m)。
设a=mq1+r1，b=mq2+r2，
且0≤r1,r2
∵m |(a-b)，
又a-b=m(q1-q2)+(r1-r2)。
∴必有常数n使得(r1-r2)=mn。
则有m|(r1-r2)。
∵0≤r1,r2
∴0≤|r1-r2|
∴r1-r2=0，
即r1=r2，故a≡b(mod m)。
必要性:a≡b(mod m)→m|
(a-b)。
设a,b用m去除余数为r，
即a=mq1+r,b=mq2+r。
∵m(q1-q2)=(a-b)，
∴m|(a-b)。
性质：
1.
反身性：a≡a (mod m)；
2.
对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)；
3.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
4.同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)；
5.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
证明：
∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),
∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).
故a≡c(mod m
).
6.
线性运算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)；
(2)a * c ≡ b * d (mod m)。
证明：
(1)∵a≡b(mod m),
∴m|(a-b)
同理 m|(c-d)
∴m|[(a-b)±(c-d)]
∴m|[(a±c)-(b±d)]
∴a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
又 m|(a-b) , m|(c-d)
∴m|(ac-bd)
∴a * c ≡ b * d (mod m)
特殊地，
则
；
9.若
，n=m，则
；
来源：oschina
链接：https://my.oschina.net/kaiyuancao/blog/4486618