Miller-Rabin素数测试算法

由于收到某退役学长的鞭策，忽然就想学习一丢数论
来补充一下虎哥基础数论中没有出现的东西
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定义

Miller-Rabin素数测试，又称米勒-拉宾素性检验，是一种素数判定法则，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。
卡内基梅隆大学的计算机系教授Gary Lee Miller首先提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法，由于广义黎曼猜想并没有被证明，其后由以色列耶路撒冷希伯来大学的Michael O. Rabin教授作出修改，提出了不依赖于该假设的随机化算法。（摘自百度百科）

用处&背景

根据上面的定义可以显然的看到，这个算法的主要目的就是进行单个素数的判定
在前期学习当中，我们也学习过单个素数的判定
复杂度为\(O(\sqrt n)\)，代码如下

bool isPrime(int x) {
    if (x < 2) return false;
    for (int i = int(sqrt(x+0.5)); i >= 2; --i) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

那么利用Miller-Rabin（简称MR）算法
还有优秀的龟速乘（快速加）以及快速幂
复杂度可以达到O(klog_n)
MR的复杂度在百科中给出了一大堆\(log\)像这样：
使用快速傅里叶变换能够将这个时间推进到\(O(klog_nloglog_nlogloglog_n)=O(klog_n)\)
总之复杂度就是\(O(klog_n)\)

而且正确性也有一定的保障
经过证明（我不会）
每次检测MR给出的错误结果的概率小于等于\(\frac 1 4\)
那么进行k次检测的错误概率可降低至\(O({\frac 1 4}^k)\)
实际使用效果要比理论值好不少
可以说是相当优秀了

证明

下面来看正确性的证明
需要用到的前置知识：费马小定理，二次探测定理，Wilson定理。
不太好解释，没关系，我们一个一个来看
有个别不懂的算法可以直接点击右侧目录去看

费马小定理

性质：若a，p互质，则\(a^{p-1}≡1(mod p)\)

证明：

考虑\(1,2,3...(p - 1)\)共\(p-1\)个数字，给所有数字同时乘\(a\)，得到\(a,2a,3a,...(p - 1)a\)

\[\because a \neq b (mod p), (c, p) = 1 \]

\[\therefore ac \neq bc(mod p) \]

\[\therefore 1*2*3...(p - 1) \equiv a*2a*3a...(p-1)a (mod p) \]

\[\therefore (p-1)! \equiv (p-1)!a^{p-1}(mod p) \]

\[\because ((p-1)!, p) \equiv 1 \]

\[\therefore a^{p-1} \equiv 1(mod p) \]

二次探测定理

性质

如果\(p\)是一个素数，且\(0<x<p\)，则方程\(x^2 \equiv 1(mod p)\)的解为\(x = 1, x = p - 1\)

证明

\[\because x^2 - 1 \equiv 0(mod p) \]

\[\therefore (x + 1)(x - 1) \equiv 0(mod p) \]

\[\therefore p|(x -1)(x + 1) \]

\[\because x < p \]

\[\therefore x = 1, x =p -1 \]

Wilson定理

性质

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。
即：当且仅当p为素数时：\(( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )\)
由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大，但借助计算机的运算能力有广泛的应用，也可以辅助数学推导。

证明

由二次探测定理，\(1*(p - 1)\)

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4345075/blog/4405973