数论杂学笔记
参考资料
暂无
函数：
\[1(n)=1 \]
\[ID(n)=n \]
\[\epsilon(n)=[n=1] \]
\[d(n)=\sum\limits_{i|n} \]
\[\sigma(n)=\sum\limits_{i|n}i \]
\[\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1] \]
\[\mu(x)= \begin{cases} 1 & x=1\\ 0 & \exists d\in\mathbb{Z}:d^2\mid x\\ (-1)^k & k 为 x 本质不同的的质因子个数\\ \end{cases} \]
定理：
费马-欧拉定理：\(a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p\)。
上定理常用形态：\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p(p\in\mathbb{P})\)
扩展欧拉定理：\(a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(p)}\pmod p\)。
威尔逊定理：\((p-1)!\equiv-1\pmod p,(p-2)!\equiv 1\pmod p(p\in\mathbb{P})\)。
常用公式：
\[\sum\limits_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2} \]
\[\sum\limits_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
\[[\gcd(i,j)=1]=\varepsilon(\gcd(i,j))=\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}\mu(d) \]
\[d(nm)=\sum\limits_{x\mid nm}=\sum\limits_{x\mid n}\sum\limits_{y\mid m}[\gcd(x,y)=1] \]
\[\varphi(nm)=\frac{\varphi(n)\varphi(m)\gcd(n,m)}{\varphi(\gcd(n,m))} \]
\[{\rm inv}(i,p)=\left(p-\lfloor\frac pi\rfloor\right) {\rm inv}(p\bmod i,p)\bmod p \]
常用狄利克雷卷积式：
\[d=1*1 \]
\[\sigma=1*d \]
\[\epsilon=\mu*1 \]
\[\varphi=\mu*ID \]
\[ID=\varphi*1 \]
\[()^2=(\varphi\cdot ID)*ID \]
来源：oschina
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