数据结构 — 堆

目录

文章目录

• 目录
• 堆
• 堆的应用
• 堆的基本操作
• 往堆中插入元素
• 删除堆顶元素
• 堆的排序
• 参考文章

堆

堆可以是一个完全二叉树，这样实现的堆也被称为二叉堆。完全二叉树，它的叶子节点都在最后一层，并且这些叶子节点都是靠左排序的。

堆中节点的值都 >=（或 <=）其子节点的值，堆中如果节点的值都 >= 其子节点的值，我们把它称为大顶堆，如果都 <= 其子节点的值，我们将其称为小顶堆。

从堆的特点可知，下图中 1、2 是大顶堆，3 是小顶堆， 4 不是堆（不是完全二叉树）。

从上图也可以看到，一组数据如果表示成大顶堆或小顶堆，可以有不同的表示方式，因为它只要求节点值 >=（或 <=）子节点值，并未规定左右子节点的排列方式。

堆的底层是如何表示的呢，从以上堆的介绍中我们知道堆是一颗完全二叉树，而完全二叉树可以用数组表示：

如上图示，给完全二叉树按从上到下、从左到右编号，则对于任意一个节点来说，很容易得知如果它在数组中的位置为 i，则它的左右子节点在数组中的位置为 2i、2i + 1，通过这种方式可以定位到树中的每一个节点，从而串起整颗树。

一般对于二叉树来说每个节点是要存储左右子节点的指针，而由于完全二叉树的特点（叶子节点都在最后一层，并且这些叶子节点都是靠左排序的），用数组来表示它再合适不过，用数组来存储的好处在于不需要存指向左右节点的指针，在这颗树很大的情况下能省下很多空间。

堆的应用

1. 优先级队列：我们知道队列都是先进先出的，而在优先级队列中，元素被赋予了权重的概念，权重高的元素优先执行，执行完之后下次再执行权重第二高的元素。显然用堆来实现优先级队列再合适不过了，只要用一个大顶堆来实现优先级队列即可，当权重最高的队列执行完毕，将其移除（相当于删除堆顶），再选出优先级第二高的元素（堆化让其符合大顶堆的条件）。

2. 求 TopK 问题：求出 n 个元素中前 K 个最大/最小的元素。

3. 求 TP99 问题：TP99 指的是在一个时间段内（如5分钟），统计某个接口（或方法）每次调用所消耗的时间，并将这些时间按从小到大的顺序进行排序，取第99%的那个值作为 TP99 值，举个例子， 假设这个方法在 5 分钟内调用消耗时间为从 1 s 到 100 s 共 100 个数，则其 TP99 为 99，这个值为啥重要呢，对于某个接口来说，这个值越低，代表 99% 的请求都是非常快的，说明这个接口性能很好，反之，就说明这个接口需要改进。

有人可能会说以上的这些应用貌似用快排或其他排序也能实现，没错，确实能实现，但是我们需要注意到，在静态数据下用快排确实没问题，但在动态数据上，如果每插入/删除一个元素对所有的元素进行快排，其实效率不是很高，由于要快排要全量排序，时间复杂度是 O(nlog n)，而堆排序就非常适合这种对于动态数据的排序,对于每个新添加的动态数据，将其插入到堆中，然后进行堆化，时间复杂度只有 O(logK)

综上，堆是一种非常重要的数据结构，在对动态数据进行排序时性能很高，优先级队列底层也是普遍采用堆来管理。

堆的基本操作

堆有两个基本的操作：

1. 构建堆（往堆中插入元素）
2. 删除堆顶元素

往堆中插入元素

往堆中插入元素后（如下图示），我们需要继续满足堆的特性，所以需要不断调整元素的位置直到满足堆的特点为止（堆中节点的值都 >= 或 <= 其子节点的值），我们把这种调整元素以让其满足堆特点的过程称为堆化（Heapify）。

由于上图中的堆是个大顶堆，所以我们需要调整节点以让其符合大顶堆的特点：不断的比较子节点与父节点，如果子节点大于父节点，则交换，不断重复此过程，直到子节点小于其父节点。来看下上图插入节点 11 后的堆化过程：

这种调整方式是先把元素插到堆的最后，然后自下而上不断比较子节点与父节点的值，我们称之为由下而上的堆化。时间复杂度就是树的高度，所以为 O(logn)。

删除堆顶元素

由于堆的特点，所以其根节点（堆项）要么是所有节点中最大，要么是所有节点中最小的，当删除堆顶元素后，也需要调整子节点，以让其满足堆（大顶堆或小顶堆）的条件。

假设我们要操作的堆是大顶堆，则删除堆顶元素后，要找到原堆中第二大的元素以填补堆顶元素，而第二大的元素无疑是在根节点的左右子节点上，假设是左节点，则用左节点填补堆顶元素之后，左节点空了，此时需要从左节点的左右节点中找到两者的较大值填补左节点。不断迭代此过程，直到调整完毕，调整过程如下图示：

但是这么调整后，问题来了，如上图所示，在最终调整后的堆中，出现了数组空洞，对应的数组如下：

我们可使用最后一个元素覆盖堆顶元素，然后再自上而下地调整堆，让其满足大顶堆的要求，这样即可解决数组空洞的问题。

时间复杂度和插入堆中元素一样，也是树的高度，所以为 O(logn)。

堆的排序

用堆怎么实现排序？我们知道在大顶堆中，根节点是所有节点中最大的，于是我们有如下思路：

假设待排序元素个数为 n（假设其存在数组中），对这组数据构建一个大顶堆，删除大顶堆的元素（将其与数组的最后一个元素进行交换），再对剩余的 n-1 个元素构建大顶堆，再将堆顶元素删除（将其与数组的倒数第二个元素交换），再对剩余的 n-2 个元素构建大顶堆。不断重复此过程，这样最终得到的排序一定是从小到大排列的，堆排序过程如下图所示：

从以上的步骤中可以看到，重要的步骤就两步，建堆（堆化，构建大顶堆）与排序。

参考文章

https://mp.weixin.qq.com/s/lk_lQJw8QSVQDqYLvRkfrQ

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4293376/blog/4266755