常见数据结构(二)-树(二叉树，红黑树，B树)

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本文介绍数据结构中几种常见的树:二分查找树，2-3树，红黑树，B树

写在前面

本文所有图片均截图自coursera上普林斯顿的课程《Algorithms, Part I》中的Slides
相关命题的证明可参考《算法（第4版）》
源码可在官网下载,也可以在我的github仓库 algorithms-learning下载，已经使用maven构建
仓库下载：git clone git@github.com:brianway/algorithms-learning.git

Binary Search Tree(二分查找树)

定义：A BST is a binary tree in symmetric order.

A binary tree is either:

Empty.
Two disjoint binary trees (left and right).

Symmetric order.Each node has a key, and every node’s key is:

Larger than all keys in its left subtree.
Smaller than all keys in its right subtree.

在java的实现中，每个节点(Node)由四个域组成：key,value,left,right。即：键，值，左子树，右子树。

private class Node {
    private Key key;
    private Value val;
    private Node left, right;

    public Node(Key key, Value val) {
        this.key = key;
        this.val = val;
    }
}

Binary Search Tree

查找：得到相应键的值，若无此键则返回null.

/* 查找 */
public Value get(Key key) {
    Node x = root;
    while (x != null) {
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp < 0) {
            x = x.left;
        } else if (cmp > 0) {
            x = x.right;
        } else { // if (cmp == 0)
          return x.val;
        }
    }
    return null;
}

插入：如果小，往左；如果大，往右；如果null，插入；如果存在，覆盖。

/* 插入 */
public void put(Key key, Value val) {
    root = put(root, key, val);
}

/* 辅助函数，递归调用 */
private Node put(Node x, Key key, Value val) {
    if (x == null) return new Node(key, val);
    int cmp = key.compareTo(x.key);
    if (cmp < 0) {
        x.left = put(x.left, key, val);
    } else if (cmp > 0) {
        x.right = put(x.right, key, val);
    } else { // if (cmp == 0)
        x.val = val;
    }
    return x;
}

比较的次数为节点的深度+1,由于插入节点的顺序会有差异，所以树的高度不确定，最坏的情况是N个节点的树高度为N。

删除：列出下面几种处理方法
- 将值置为null，在树中保留键
- 删除最小值：一直向左找到左子树为null的节点，用它的右子节点代替它。
- Hibbard deletion

下面重点讲一下Hibbard deletion,分为三种情况：

没有子节点的节点，将其parent link置为null即可。
有一个子节点的节点，删除该节点并以子节点代替即可。
有两个子节点的节点，找到该节点t的下一个节点x（即右子树的最小节点），在右子树删除这个节点，并将该节点x放到t的位置。

/* 删除 */
private Node delete(Node x, Key key) {
    if (x == null) return null;
    int cmp = key.compareTo(x.key);
    if (cmp < 0) {
        x.left = delete(x.left, key);
    } else if (cmp > 0) {
        x.right = delete(x.right, key);
    } else {
        if (x.right == null) return x.left; // no right child
        if (x.left == null) return x.right; // no left child
        Node t = x;
        x = min(t.right); // replace with successor
        x.right = deleteMin(t.right);
        x.left = t.left;
    }
    x.count = size(x.left) + size(x.right) + 1;
    return x;
}

2-3 Search Trees(2-3树)

在介绍红黑树前，先介绍一下2-3树，便于后面理解红黑树。

2-3树是二分查找树的变形，每个节点是下面两种情况之一：

2-node:一个键，两个分叉（smaller,larger）
3-node:两个键，三个分叉（smaller,between,larger）

2-3 trees

在底部向一个3-node插入。

向3-node插入一个键，临时成为一个4-node
将4-node中间的key移动到父节点
向上重复
如果到了顶端的根节点，且根节点是4-node,将其分成3个2-nodes.

总结起来就是：当插入的值导致节点变四叉时进行分裂，将中间的值传给上一个节点，并将另外两个值作为两个子节点分开，若上一节点也因此变成四叉，依次类推。分裂4-node是一个local transformation，只会进行常数次数的操作。高度加一由且仅由顶节点分裂造成

2-3 trees proof

树的高度，在查找和插入时，保证了logarithmic的性能。

Worst case: lg N. [all 2-nodes]
Best case: log3 N ≈ 0.631 lg N. [all 3-nodes]

Red-Black BSTs(红黑树)

这里的红黑树均指Left-leaning red-black BSTs。主要是用二叉树的形式来表示2-3树，用一个“内部”的left-leaning连接来表示3-node。red link是2-3tree的三叉节点的连接两个key的内部link，大值作为根节点，小值作为左子节点，故名left leaning 红黑树。

红黑树定义

一个等价的定义,A BST such that:

No node has two red links connected to it.
Every path from root to null link has the same number of black links.
Red links lean left.

红黑树对应2-3树

红黑树的java表示

private static final boolean RED = true;
private static final boolean BLACK = false;

private class Node {
    Key key;
    Value val;
    Node left, right;
    boolean color;// color of parent link
}

private boolean isRed(Node x) {
    if (x == null) return false;
    return x.color == RED;
}

左转-右转-变色

红黑树插入过程中可能用到的三个基本操作（左转，右转，变色）：

left rotate
right rotate
flip colors

下面依次介绍

左转

红黑树左转

/* left rotate */
private Node rotateLeft(Node h) {
   assert isRed(h.right);
   Node x = h.right;
   h.right = x.left;
   x.left = h;
   x.color = h.color;
   h.color = RED;
   return x;
}

右转

红黑树右转

/* right rotate */
private Node rotateRight(Node h) {
    assert isRed(h.left);
    Node x = h.left;
    h.left = x.right;
    x.right = h;
    x.color = h.color;
    h.color = RED;
    return x;
}

变色

红黑树变色

/* flip colors */
private void flipColors(Node h) {
    assert !isRed(h);
    assert isRed(h.left);
    assert isRed(h.right);
    h.color = RED;
    h.left.color = BLACK;
    h.right.color = BLACK;
}

插入操作

红黑树插入两个节点

从图中可以看出，插入的次序不同，需要转换的操作也不同，分三种情况（图中每一列是一种情况）：

已有a和b时，c插入在b的右子节点，直接变色即可
已有b和c时，a插入在b的左子节点，先右转把b滑上去，成1中的状态，再变色即可
已有a和c时，b插入在a的右子节点，先左转把a滑下去，成2中的状态，再右转＋变色即可

从上面的分析可以看出，三种情况之间有转换关系，且逐步趋向简单，如下图所示：

红黑树状态转换

根本原因在于，2-3树中，是把3-node中处于中间的那个键传递给父节点，所以在红黑树中，当有一个节点连了两个 red link时，说明这三个点是一个3-node，但次序还需要调整，从而达到中间键在最上的状态，进而变色。而这个这个调整的趋势则是先让b处于a,c中间(即a的父，c的左子，成一条线)，再让b成为a,c的父节点，最后变色。记住这个顺序和原因，写代码就简单了，状态3->状态2->状态1

private Node put(Node h, Key key, Value val) {
    //insert at bottom (and color it red)
    if (h == null) return new Node(key, val, RED);
    int cmp = key.compareTo(h.key);
    if (cmp < 0) {
        h.left = put(h.left, key, val);
    } else if (cmp > 0) {
        h.right = put(h.right, key, val);
    } else {
        h.val = val;
    }

    if (isRed(h.right) && !isRed(h.left)) h = rotateLeft(h);// lean left
    if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left)) h = rotateRight(h);//balance 4-node
    if (isRed(h.left) && isRed(h.right)) flipColors(h);//split 4-node

    return h;
}

红黑树的高度 h <= 2 lg N，证明：