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LeetCode 面试题14- II. 剪绳子 II

题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]k[1]...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 1000

注意：本题与主站 343 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-ii-lcof
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解题思路

思路1-贪心算法

首先分析贪心条件，以哪个值分割最大呢？
假如以x等值分割后乘积最大：

可分割为：$\frac{n}{x}$段；
最终乘积为：$\left(x^{\frac{1}{x}}\right)^{n}$；

因为n为常数，去掉n后，最终公式为 $y=x^{\frac{1}{x}}$；
即问题转化为求$x^{\frac{1}{x}}$的最值问题，这需要求导解决，最终的结果为e，而e的取值为2.71828...；
因为只能整数分割，那么，最佳值可能为2或者3，因为有：

$2^{\frac{1}{2}}(约为1.41)<3^{\frac{1}{3}}(约为1.44)$；
更直接的，当n取6时有：$\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{6}<\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{6}$，即$2^{3}<3^{2}$；

所以，3是最优解，分割的贪心规则为：

优先分割为3的长度；
最后剩余的部分可能为0，1，2，其中若余1，则需要把最后剩余的4改为分割成2和2，毕竟$3*1<2*2$；

此外：

因为$m>1$，即至少要分割一次，当$n<4$时，需要作特例判断；
因为n可能很大，中间数需要用long保存，最后再转回int；

算法复杂度:

时间复杂度： $ {\color{Magenta}{\Omicron\left(n\right)}} $
空间复杂度： $ {\color{Magenta}{\Omicron\left(1\right)}} $

算法源码示例

package leetcode;

/**
 * @author ZhouJie
 * @date 2020年4月30日 下午11:52:44 
 * @Description: 面试题14- II. 剪绳子 II
 *
 *
 */
public class LeetCode_Offer_14_2 {

}

class Solution_Offer_14_2 {
	/**
	 * @author: ZhouJie
	 * @date: 2020年5月1日 上午12:13:23 
	 * @param: @param n
	 * @param: @return
	 * @return: int
	 * @Description: TODO
	 *
	 */
	public int cuttingRope_1(int n) {
		int mod = 1000000007;
		if (n < 4) {
			return n > 2 ? 2 : 1;
		} else {
			long rst = 1;
			while (n > 4) {
				rst = rst * 3 % mod;
				n -= 3;
			}
			return (int) (rst * n % mod);
		}
	}
}

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4330619/blog/4262806

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