数据结构与算法之美_31_深度和广度优先搜索：如何找出社交网络中的三度好友关系？

上一节我们讲了图的表示方法，讲到如何用有向图、无向图来表示一个社交网络。在社交网络中，有一个六度分割理论，具体是说，你与世界上的另一个人间隔的关系不会超过六度，也就是说平均只需要六步就可以联系到任何两个互不相认的人。

一个用户的一度连接用户好友，就是他的好友，二度连接用户就是他好友的好友，三度连接用户就是他好友的好友的好友。在社交网络中，我们往往通过用户之间的连接关系，来实现推荐“可能认识的人”这么一个功能。

给你一个用户，如何找出这个用户的所有三度（其中包含一度、二度和三度）好友关系？

这就要用到今天要讲的深度优先和广度优先搜索算法了。

什么是“搜索”算法？

算法是作用于具体数据结构之上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为，图这种数据结构的表达能力很强，大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法，最直接的理解就是，在图中找出从一个顶点出发，到另一个顶点的路径。具体方法有很多，比如今天要讲的两种最简单、最“暴力”的深度优先、广度优先搜索算法，还有 A*、IDA* 等启发式搜索算法。

图有两种最主要存储方法，邻接表和邻接矩阵。今天我们用邻接表来存储图，针对无向图来讲解。

需要说明下，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法，既可以用在无向图，也可以用在有向图上。

// 无向图
public class Graph {
    // 顶点的个数
    private int v;
    // 邻接表
    private LinkedList<integer>[] adj;
    
    public Graph(int v){
        this.v = v;
        adj = new LinkedList[v];
        for(int i = 0;i &lt; v;i++){
            adj[i] = new LinkedList&lt;&gt;();
        }
    }
    
    public void addEdge(int s, int t){
        // 无向图一条边存两次
        adj[s].add(t);
        adj[t].add(s);
    }
}

广度优先搜索算法

广度优先搜索（Breadth-First-Search），简称 BFS。直观地讲，它其实是一种地毯式层层推进的搜索策略，即先查找离起点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。

下面代码中的 bfs() 函数就是基于之前定义的，图的广度优先搜索的代码实现。其中 s 表示起始顶点，t 表示终止顶点。我们搜索一条从 s 到 t 的路径。实际上，这样求得的路径就是从 s 到 t 的最短路径。

// 广度优先搜索算法
public void bfs(int s, int t){
    if(s==t){
        return;
    }
    // 记录顶点是否被访问过
    boolean visited = new boolean[v];
    visited[s] = true;
    
    // 通过队列，记录要访问的顶点
    Queue<integer> queue = new LinkedList&lt;&gt;();
    queue.add(s);
    
    // 记录访问的顶点的前一个顶点
    int[] prev = new int[v];
    for(int i = 0; i &lt; v; i++){
        prev[i] = -1;
    }
    
    whlie(queue.size()&gt;0){
        int w = queue.poll();
        // 遍历顶点所关注的全部顶点
        for(int i = 0; i&lt; adj[w].size(); i++){
            int q = adj[w].get(i);
            if(!visited[q]){
                // 关注顶点没有被访问过，则设置它的前驱顶点
                prev[q] = w;
                if(q == t){
                    // 关注顶点等于目标顶点
                    print(prev, s, t);
                    return;
                }
                // 标记关注顶点已经被访问
                visited[q] = true;
                // 关注顶点添加到队列
                queue.add(q);
            }
        }
    }
}

private void print(int[] prev, int s, int t){
    if(prev[t]!= -1 &amp;&amp; t != s){
        // 递归打印目标顶点
        print(prev, s, prev[t]);
    }
    System.out.print(t + "");
}

这段代码不好理解，里边有三个辅助变量 visited、queue、prev。需要好好理解这三个变量。

visited 是用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。如果顶点 q 被访问，那相应的 visited[q] 会被设置为 true。

queue 是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把 k 层的顶点都访问完成之后，才能访问第 k + 1 层的顶点。当我们访问到第 k 层的顶点的时候，我们需要把第 k 层的顶点记录下来，稍后才能通过第 k 层的顶点来找第 k + 1 层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录的功能。

prev 用来记录搜索路径，当我们从顶点 s 开始，广度优先搜索到顶点 t 后，prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。prev[w] 存储的是，顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如，我们通过顶点 2 的邻接表访问到顶点 3，那 prev[3] 就等于 2。为了正向打印出路径，我们需要递归地来打印。

下面是一个广度优先搜索的分解图。

广度优先搜索的时间、空间复杂度

最坏情况下，终止顶点 t 离起始顶点 s 很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E)，其中，V 表示顶点的个数，E 表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E 肯定是要大于等于 V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)。

广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是 O(V)。

深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索（Depth-First-Search），简称 DFS。最直观的例子就是“走迷宫”。

假设你站在迷宫的某个岔路口，然后想找出出口。你可以随机选择一个岔路口来走，走着走着发现走不通的时候，就回退到上一个岔路口，重新选择一条路继续走，直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。

走迷宫的例子很容易看懂，我们再来看下，如何在图中应用深度优先搜索，来找某个顶点到另一个顶点的路径。

搜索的起始顶点是 s，终止顶点是 t，我们希望从图中寻找一条从顶点 s 到顶点 t 的路径。如果映射到迷宫那个例子，s 就是你起始所在位置，t 就是出口。

如下图所示，实现箭头表示遍历，虚线箭头表示回退。从图中我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径。

实际上，深度优先搜索用的是一个种比较著名的算法思想，回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合递归来说实现。

深度优先搜索的代码也用到了 prev、visited 变量以及 print() 函数，它们跟广度优先搜索代码实现里的作用是一样的。不过，深度优先搜索代码实现里，有个比较特殊的变量 found，它的作用是，当我们已经找到终点顶点 t 之后，我们就不用在递归的继续查找了。

// 深度优先搜索
public void dfs(int s, int t){
    found = false;
    // 记录顶点是否被访问
    boolean[] visited = new boolean[v];
    
    // 记录顶点的访问的前驱顶点
    int[] prev = new int[v];
    for(int i = 0; i &lt; v; i++){
        prev[i] = -1;
    }
    
    // 递归搜索
    recurDfs(s, t, visited, prev);
    // 打印路径
    print(prev, s, t);
}

private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev){
    if(found){
        return;
    }
    visited[w] = true;
    if(w == t){
        found = true;
        return;
    }
    for(int i = 0; i &lt; adj[w].size(); i++){
        int q = adj[w].get(i);
        if(!visited[q]){
            prev[q] = w;
            recurDfs(q, t, visited, prev);   
        }
    }
}

boolean found = false;

深度优先搜索的时间、空间复杂度

从上图中可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E)，E 表示边的个数。

深度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。visited、prev 数组的大小跟顶点的个数 V 成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是 O(V)。

解决开篇

如何找出社交网络中某个用户的三度好友关系？

社交图可以用图来表示。这个问题非常适合用图的广度优先搜索算法来解决，因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的一度好友，然后再遍历与用户距离的边数为 2 的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离的边数为 3 的顶点，也就是三度好友关系。

内容小结

广度优先搜索和深度优先搜索是图上最常用的、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如 A*、IDA* 等，要简单粗暴，没什么优化，所以，也被叫做暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。

广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历。广度优先搜索需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是，起始顶点到终止顶点的最短路径。

深度优先搜索用的是回溯思想，非常适合用递归实现。换句话说，深度优先搜索是借助栈来实现的。在执行效率方面，深度优先搜索的时间复杂度是 O(E)，空间复杂度是 O(V)。

课后思考

我们通过广度优先搜索算法来解决了开篇的问题，能否用深度优先搜索来解决呢？

答：DFS递归时传多一个离初始节点的距离值，访问节点时，距离超过3的不再继续递归

学习数据结构最难的不是理解和掌握原理，而是能灵活地将各种场景和问题抽象成对应的数据结构和算法。今天的内存中提到，迷宫可以抽象成图，走迷宫可以抽象成搜索算法，如何将迷宫抽象成一个图？如何在计算机中存储一个迷宫？

答：初始化两个顶点为迷宫起点和终点，从起点开始，遇到分叉点，为每个分支都新建一个节点，并和前一节点连接，递归每个分支直到终点

代码

Github </integer></integer>

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4150612/blog/4263297

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