主要参考大佬博客：https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/86590498
欧拉图
欧拉图是在大家小学时学奥数都学习过的一个类型的题，无论你学得好不好，你都听过它的另外一个名字：一笔画问题；
一，首先来定义一下：
1.欧拉回路：图G的一个回路，如果恰通过图G的每一条边，则该回路称为欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。欧拉图就是从图上的一点出发，经过所有边且只能经过一次，最终回到起点的路径。
2.欧拉通路：即可以不回到起点，但是必须经过每一条边，且只能一次。也叫"一笔画"问题。
3.基图：基图是针对有向图的说法，是忽略有向图的方向得到的无向图。
4.欧拉图:存在欧拉回路的图。
欧拉回路一定要首尾相连，，通路不一定。
二.性质与定理
先说说有向图和无向图，显而易见，有向图就是有向的图，而无向图反之亦然。
呃，，此处及以下全转载至大佬博客：https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/75578102
性质与定理
定理1
无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。
证明： 必要性
设图G的一条欧拉回路为C。由于C经过图G的每一条边，而图G没 有孤立点，所以C也经过图G的每一个顶点，G为连通图成立。而对于图G的任意一个顶点 v，经过C时都是从一条边进入，从另一条边离开，因此v经过C的关联边的次数为偶数。又由于C不重复地经过了图G的每一条边，因此 的度为偶数。
充分性
假设图G中不存在回路，而G是连通图，故 一定是G树，那么有|E|=|V|−1 |E|=|V|−1|E|=|V|-1由于图G所有顶点的度为偶数而且不含孤立点，那么图G的每一个顶点的度至少为2。
推论1
无向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外， 其它所有顶点的度为偶数。
证明：将两个度为奇数的顶点连接，由定理一得该图为欧拉图，故去掉环上一边为半欧拉图。
定理2
有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图连通，且所有顶点的入度等于出度。
推论2
有向图G为半欧拉图，当且仅当G的基图连通，且存在顶点u的入度比出度大1 、v的入度比出度小 1，其它所有顶点的入度等于出度。证明同定理1相似。
性质1
设C是欧拉图G中的一个简单回路，将C中的边从图G中删去得到一个新的图G ′ ′^{'},则 G ′ ′^{'}的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。
证明 若G为无向图，则图G ′ ′^{'}的各顶点的度为偶数；若G为有向图，则图 G ′ ′^{'}的各顶点的入度等于出度。
性质2
设 C1、C2是图G的两个没有公共边，但有至少一个公共顶点的简单回路，我们可以将它们合并成一个新的简单回路 。
三.如何判定（是不是欧拉回路/图)
以下全是我个人理解，完全依据于小奥的学习经验，不一定全对，有错请指出。
我说的尽量简单一点：
首先每一个点都有它的度：即与它相连的边的个数
我们把奇度的点称为奇点，反之偶点
根据奥数知识一句话则可以判断无向图是否是欧拉图：有0或2个奇点
但是对于有向图判断则复杂一些：每条边只经过一次而且每个点也只过一次
四。如何实现判定
下面用一道模板题来简述一下吧。附:欧拉树的题往往无法判断是图论题
见下：
题目描述
给定n个各不相同的无序字母对（区分大小写，无序即字母对中的两个字母可以位置颠倒）。请构造一个有n+1个字母的字符串使得每个字母对都在这个字符串中出现。
输入输出格式
输入格式：
第一行输入一个正整数n。
以下n行每行两个字母，表示这两个字母需要相邻。
输出格式：
输出满足要求的字符串。
如果没有满足要求的字符串，请输出“No Solution”。
如果有多种方案，请输出前面的字母的ASCII编码尽可能小的（字典序最小）的方案
输入样例#1： 输出样例#1：
4 XaZtX
aZ
tZ
Xt
aX
是不是很迷？
但是附上代码你就会懂了。。。。#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int a[500][500];
int du[200];
char lu[500];
void Find(int now)
{
for(int i = 'A';i <= 'z';++ i){//字典序从小开始找
if(a[now][i]){
a[now][i] = 0;
a[i][now] = 0;
Find(i);
}
}
lu[++k] = now;//题目要求记录的路径
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
char x,y;
for(int i = 1;i <= n;++ i)
{
cin >> x >> y;
a[x][y] = 1;
a[y][x] = 1;
du[x] ++;//此处du数组记录了每个点的度数
du[y] ++;
}
for(int i = 'z';i >= 'A';-- i)
{
if(du[i] % 2==1)
start = i,m ++;//m记录图中奇数度数点的个数，同时将起点start定为此点
}
if(m != 0&&m != 2)
{//由欧拉图的性质可得，如果一个图奇数度数点个数不为0或2则不存在欧拉路径
cout << "No Solution";
return 0;
}
if(m == 0)
{//当图中所有点为偶数度数时，图中存在欧拉回路，只需要找到字典序最小的点作起点start
for(int i = 'A';i <= 'z';++ i)
if(du[i])
{
start = i;
break;
}
Find(start);
}
int str=strlen(lu);
for(int j=1;j<=str;j++)
cout<<lu[j];
cout<<endl;
return 0;
}好了，欧拉图就掌握到模板题吧，，对我而言
如果大佬们想刷题
请见：
模板题： poj:1041 john’s trip
http://poj.org/problem?id=1041
(无向图欧拉回路&路径输出，模板题，很经典。）
hdu:3018 ant trip
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3018
(并查集:欧拉回路的问题)
一般难度： POJ:1386 Play on Words
http://poj.org/problem?id=1386
(判定有向图图欧拉路径是否存在)
POJ 1300 Door Man
http://poj.org/problem?id=1300
(无向图欧拉通路和回路的判定+并查集)
究极难度:
大视野oj:太鼓达人
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3033
这道题是无意中翻到的，完全没看出来是欧拉图。需要强大的数学功底才能进行转化（要用欧拉回路判定+dfs+回溯做）。
这里选了一个题解（思路讲的较为清晰，有图解）
太鼓达人题解
https://blog.csdn.net/Clove_unique/article/details/70160122
uva:10735
是道紫题，此处给的是洛谷传送门
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372
洛谷题解挺详细，大家可以看看。
poj:1637 Sightseeing tour
http://poj.org/problem?id=1637
一道好题,网络流加混合欧拉图（大佬如是说）。
来源：oschina
链接：https://my.oschina.net/u/4388412/blog/3452921