经典算法研究系列：六、教你初步了解KMP算法、updated

引言：
在文本编辑中，我们经常要在一段文本中某个特定的位置找出某个特定的字符或模式。
由此，便产生了字符串的匹配问题。
本文由简单的字符串匹配算法开始，再到KMP算法，由浅入深，教你从头到尾彻底理解KMP算法。

来看算法导论一书上关于此字符串问题的定义：
假设文本是一个长度为n的数组T[1...n]，模式是一个长度为m<=n的数组P[1....m]。
进一步假设P和T的元素都是属于有限字母表Σ.中的字符。

依据上图，再来解释下字符串匹配问题。目标是找出所有在文本T=abcabaabcaabac中的模式P=abaa所有出现。
该模式仅在文本中出现了一次，在位移s=3处。位移s=3是有效位移。

第一节、简单的字符串匹配算法

简单的字符串匹配算法用一个循环来找出所有有效位移，
该循环对n-m+1个可能的每一个s值检查条件P[1....m]=T[s+1....s+m]。

NAIVE-STRING-MATCHER(T, P)
1 n ← length[T]
2 m ← length[P]
3 for s ← 0 to n - m
4     do if P[1 ‥ m] = T[s + 1 ‥ s + m]
      //对n-m+1个可能的位移s中的每一个值，比较相应的字符的循环必须执行m次。
5           then print "Pattern occurs with shift" s

简单字符串匹配算法，上图针对文本T=acaabc 和模式P=aab。
上述第4行代码，n-m+1个可能的位移s中的每一个值，比较相应的字符的循环必须执行m次。
所以，在最坏情况下，此简单模式匹配算法的运行时间为O（(n-m+1)m）。

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下面我再来举个具体例子，并给出一具体运行程序：
对于目的字串target是banananobano,要匹配的字串pattern是nano,的情况，

下面是匹配过程，原理很简单，只要先和target字串的第一个字符比较，
如果相同就比较下一个，如果不同就把pattern右移一下，
之后再从pattern的每一个字符比较，这个算法的运行过程如下图。
//index表示的每n次匹配的情形。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int match(const string& target,const string& pattern)
{
    int target_length = target.size();
    int pattern_length = pattern.size();
    int target_index = 0;
    int pattern_index = 0;
    while(target_index < target_length && pattern_index < pattern_length)
    {
        if(target[target_index]==pattern[pattern_index])
        {
            ++target_index;
            ++pattern_index;
        }
        else
        {
            target_index -= (pattern_index-1);
            pattern_index = 0;
        }
    }
    if(pattern_index == pattern_length)
    {
        return target_index - pattern_length;
    }
    else
    {
        return -1;
    }
}
int main()
{
    cout<<match("banananobano","nano")<<endl;
    return 0;
}

//运行结果为4。

上面的算法进间复杂度是O(pattern_length*target_length),
我们主要把时间浪费在什么地方呢，
观查index =2那一步，我们已经匹配了3个字符，而第4个字符是不匹配的，这时我们已经匹配的字符序列是nan,

此时如果向右移动一位，那么nan最先匹配的字符序列将是an,这肯定是不能匹配的，
之后再右移一位，匹配的是nan最先匹配的序列是n,这是可以匹配的。

如果我们事先知道pattern本身的这些信息就不用每次匹配失败后都把target_index回退回去，
这种回退就浪费了很多不必要的时间，如果能事先计算出pattern本身的这些性质，
那么就可以在失配时直接把pattern移动到下一个可能的位置，
把其中根本不可能匹配的过程省略掉，
如上表所示我们在index=2时失配，此时就可以直接把pattern移动到index=4的状态，
kmp算法就是从此出发。

第二节、KMP算法

2.1、覆盖函数(overlay_function)

覆盖函数所表征的是pattern本身的性质，可以让为其表征的是pattern从左开始的所有连续子串的自我覆盖程度。
比如如下的字串，abaabcaba

由于计数是从0始的，因此覆盖函数的值为0说明有1个匹配，对于从0还是从来开始计数是偏好问题，

具体请自行调整，其中-1表示没有覆盖，那么何为覆盖呢，下面比较数学的来看一下定义，比如对于序列

a0a1...aj-1 aj

要找到一个k,使它满足

a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj

而没有更大的k满足这个条件，就是说要找到尽可能大k,使pattern前k字符与后k字符相匹配，k要尽可能的大，
原因是如果有比较大的k存在，而我们选择较小的满足条件的k，
那么当失配时，我们就会使pattern向右移动的位置变大，而较少的移动位置是存在匹配的，这样我们就会把可能匹配的结果丢失。

比如下面的序列，

在红色部分失配，正确的结果是k=1的情况，把pattern右移4位，如果选择k=0,右移5位则会产生错误。
计算这个overlay函数的方法可以采用递推，可以想象如果对于pattern的前j个字符，如果覆盖函数值为k

a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj
则对于pattern的前j+1序列字符，则有如下可能
⑴ pattern[k+1]==pattern[j+1] 此时overlay(j+1)=k+1=overlay(j)+1
⑵ pattern[k+1]≠pattern[j+1] 此时只能在pattern前k+1个子符组所的子串中找到相应的overlay函数，h=overlay(k),如果此时pattern[h+1]==pattern[j+1],则overlay(j+1)=h+1否则重复(2)过程.

下面给出一段计算覆盖函数的代码：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
void compute_overlay(const string& pattern)
{
    const int pattern_length = pattern.size();
    int *overlay_function = new int[pattern_length];
    int index;
    overlay_function[0] = -1;
    for(int i=1;i<pattern_length;++i)
    {
        index = overlay_function[i-1];
        //store previous fail position k to index;

        while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])
        {
            index = overlay_function[index];
        }
        if(pattern[i]==pattern[index+1])
        {
            overlay_function[i] = index + 1;
        }
        else
        {
            overlay_function[i] = -1;
        }
    }
    for(i=0;i<pattern_length;++i)
    {
        cout<<overlay_function[i]<<endl;
    }
    delete[] overlay_function;
}
int main()
{
    string pattern = "abaabcaba";
    compute_overlay(pattern);
    return 0;
}

运行结果为：

-1
-1
0
0
1
-1
0
1
2
Press any key to continue

-------------------------------------

2.2、kmp算法
有了覆盖函数，那么实现kmp算法就是很简单的了，我们的原则还是从左向右匹配，但是当失配发生时，我们不用把target_index向回移动，target_index前面已经匹配过的部分在pattern自身就能体现出来，只要动pattern_index就可以了。

当发生在j长度失配时，只要把pattern向右移动j-overlay(j)长度就可以了。

如果失配时pattern_index==0，相当于pattern第一个字符就不匹配，
这时就应该把target_index加1，向右移动1位就可以了。

ok，下图就是KMP算法的过程（红色即是采用KMP算法的执行过程）：

另一作者saturnman发现，在上述KMP匹配过程图中，index=8和index=11处画错了。还有，anaven也早已发现，index=3处也画错了。非常感谢。但图已无法修改，见谅。

KMP 算法可在O（n+m）时间内完成全部的串的模式匹配工作。

ok，最后给出KMP算法实现的c++代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

int kmp_find(const string& target,const string& pattern)
{
    const int target_length = target.size();
    const int pattern_length = pattern.size();
    int * overlay_value = new int[pattern_length];
    overlay_value[0] = -1;
    int index = 0;
    for(int i=1;i<pattern_length;++i)
    {
        index = overlay_value[i-1];
        while(index>=0 && pattern[index+1]!=pattern[i])
        {
            index = overlay_value[index];
        }
        if(pattern[index+1]==pattern[i])
        {
            overlay_value[i] = index +1;
        }
        else
        {
            overlay_value[i] = -1;
        }
    }
    //match algorithm start
    int pattern_index = 0;
    int target_index = 0;
    while(pattern_index<pattern_length&&target_index<target_length)
    {
        if(target[target_index]==pattern[pattern_index])
        {
            ++target_index;
            ++pattern_index;
        }
        else if(pattern_index==0)
        {
            ++target_index;
        }
        else
        {
            pattern_index = overlay_value[pattern_index-1]+1;
        }
    }
    if(pattern_index==pattern_length)
    {
        return target_index-pattern_index;
    }
    else
    {
        return -1;
    }
    delete [] overlay_value;
}

int main()
{
    string source = " annbcdanacadsannannabnna";
    string pattern = " annacanna";
    cout<<kmp_find(source,pattern)<<endl;
    return 0;
}
//运行结果为 -1.

第三节、kmp算法的来源
kmp如此精巧，那么它是怎么来的呢，为什么要三个人合力才能想出来。其实就算没有kmp算法，人们在字符匹配中也能找到相同高效的算法。这种算法,最终相当于kmp算法，只是这种算法的出发点不是覆盖函数，不是直接从匹配的内在原理出发，而使用此方法的计算的覆盖函数过程序复杂且不易被理解，但是一但找到这个覆盖函数，那以后使用同一pattern匹配时的效率就和kmp一样了，其实这种算法找到的函数不应叫做覆盖函数，因为在寻找过程中根本没有考虑是否覆盖的问题。

说了这么半天那么这种方法是什么呢，这种方法是就大名鼎鼎的确定的有限自动机(Deterministic finite state automaton DFA),DFA可识别的文法是3型文法，又叫正规文法或是正则文法，既然可以识别正则文法，那么识别确定的字串肯定不是问题(确定字串是正则式的一个子集)。对于如何构造DFA,是有一个完整的算法，这里不做介绍了。在识别确定的字串时使用DFA实在是大材小用，DFA可以识别更加通用的正则表达式，而用通用的构建DFA的方法来识别确定的字串，那这个overhead就显得太大了。

kmp算法的可贵之处是从字符匹配的问题本身特点出发，巧妙使用覆盖函数这一表征pattern自身特点的这一概念来快速直接生成识别字串的DFA,因此对于kmp这种算法，理解这种算法高中数学就可以了，但是如果想从无到有设计出这种算法是要求有比较深的数学功底的。

第四节、精确字符匹配的常见算法的解析

KMP算法：

KMP就是串匹配算法

运用自动机原理

比如说

我们在S中找P

设P＝{ababbaaba}

我们将P对自己匹配

下面是求的过程:{依次记下匹配失败的那一位}

[2]ababbaaba

.......ababbaaba[1]

[3]ababbaaba

.........ababbaaba[1]

[4]ababbaaba

.........ababbaaba[2]

[5]ababbaaba

.........ababbaaba[3]

[6]ababbaaba

................ababbaaba[1]

[7]ababbaaba

................ababbaaba[2]

[8]ababbaaba

..................ababbaaba[2]

[9]ababbaaba

..................ababbaaba[3]

得到Next数组『0,1,1,2,3,1,2,2,3』

主过程：

[1]i:=1 j:=1

[2]若(j>m)或(i>n)转[4]否则转[3]

[3]若j=0或a[i]=b[j]则【inc(i)inc(j)转[2]】否则【j:=next[j]转2】

[4]若j>m则return(i-m)否则return -1;

若返回－1表示失败，否则表示在i-m处成功

BM算法也是一种快速串匹配算法，KMP算法的主要区别是匹配操作的方向不同。虽然T右移的计算方法却发生了较大的变化。

为方便讨论，T＝＂dist ：ｃ－＞｛dist称为滑动距离函数，它给出了正文中可能出现的任意字符在模式中的位置。函数                                                    m – j j为                                   dist（m+1     若c = tm

例如，pattern＂，则p）a）t）dist（= 2，r）n）BM算法的基本思想是：假设将主串中自位置i + dist(si)位置开始重新进行新一轮的匹配，其效果相当于把模式和主串向右滑过一段距离si），即跳过si）个字符而无需进行比较。

下面是一个S =＂T=＂BM算法可以大大加快串匹配的速度。

下面是KMP算法部分，把调用BM函数便可。

#include <iostream>

using namespace std;



int Dist(char *t,char ch)

{

    int len = strlen(t);

    int i = len - 1;

    if(ch == t[i])

        return len;

    i--;

    while(i >= 0)

    {

        if(ch == t[i])

            return len - 1 - i;

        else

            i--;

    }

    return len;

}



int BM(char *s,char *t)

{

    int n = strlen(s);

    int m = strlen(t);

    int i = m-1;

    int j = m-1;

    while(j>=0 && i<n)

    {

        if(s[i] == t[j])

        {

            i--;

            j--;

        }

        else

        {

            i += Dist(t,s[i]);

            j = m-1;

        }

    }

    if(j < 0)

    {

        return i+1;

    }

    return -1;

}

Horspool算法
这个算法是由R.Nigel Horspool在1980年提出的。其滑动思想非常简单，就是从后往前匹配模式串，若在某一位失去匹配，此位对应的文本串字符为c，那就将模式串向右滑动，使模式
串之前最近的c对准这一位，再从新从后往前检查。那如果之前找不到c怎么办？那好极了，直接将整个模式串滑过这一位。
例如：

文本串：abdabaca
模式串：baca

倒数第2位失去匹配，模式串之前又没有d，那模式串就可以整个滑过，变成这样：

文本串：abdabaca
模式串：   baca

发现倒数第1位就失去匹配，之前1位有c，那就向右滑动1位：

文本串：abdabaca
模式串：    baca

实现代码：

#include <iostream>

#include <vector>

#include <string>

#include <cstdlib>

using namespace std;



int  Horspool_match(const string & S,const string & M,int pos)

{

    int  S_len = S.size();

    int  M_len = M.size();

    int  Mi = M_len-1,Si= pos+Mi;  //这里的串的第1个元素下标是0

    if( (S_len-pos) < M_len )

        return -1;

    while ( (Mi>-1) && (Si<S_len) )

    {

        if (S[Si] == M[Mi])

        {

            --Mi;

            --Si;

        }

        else

        {

            do

            {

                Mi--;

            }

            while( (S[Si]!=M[Mi]) || (Mi>-1) );

            Mi = M_len - 1;

            Si += M_len - 1;

        }

    }

    if(Si < S_len)

        return(Si + 1);

    else

        return -1;

}



int main( )

{

    string S="abcdefghabcdefghhiijiklmabc";

    string T="hhiij";

    int    pos = Horspool_match(S,T,3);



    cout<<"/n"<<pos<<endl;

    system("pause");

    return 0;

}



SUNDAY算法：
BM算法的改进的算法SUNDAY--Boyer-Moore-Horspool-Sunday Aglorithm

BM算法优于KMP

SUNDAY 算法描述：

字符串查找算法中，最著名的两个是KMP算法（Knuth-Morris-Pratt)和BM算法（Boyer-Moore)。两个算法在最坏情况下均具有线性的查找时间。但是在实用上，KMP算法并不比最简单的c库函数strstr()快多少，而BM算法则往往比KMP算法快上3－5倍。但是BM算法还不是最快的算法，这里介绍一种比BM算法更快一些的查找算法即Sunday算法。

例如我们要在"substring searching algorithm"查找"search"，刚开始时，把子串与文本左边对齐：

substring searching algorithm
search
^
结果在第二个字符处发现不匹配，于是要把子串往后移动。但是该移动多少呢？这就是各种算法各显神通的地方了，最简单的做法是移动一个字符位置；KMP是利用已经匹配部分的信息来移动；BM算法是做反向比较，并根据已经匹配的部分来确定移动量。这里要介绍的方法是看紧跟在当前子串之后的那个字符（上图中的 'i')。

显然，不管移动多少，这个字符是肯定要参加下一步的比较的，也就是说，如果下一步匹配到了，这个字符必须在子串内。所以，可以移动子串，使子串中的最右边的这个字符与它对齐。现在子串'search'中并不存在'i'，则说明可以直接跳过一大片，从'i'之后的那个字符开始作下一步的比较，如下图：

substring searching algorithm
　　　 search
　　　　^

比较的结果，第一个字符就不匹配，再看子串后面的那个字符，是'r',它在子串中出现在倒数第三位，于是把子串向前移动三位，使两个'r'对齐，如下：

substring searching algorithm
　　　　  search
　　　　　　　^

哈！这次匹配成功了！回顾整个过程，我们只移动了两次子串就找到了匹配位置，可以证明，用这个算法，每一步的移动量都比BM算法要大，所以肯定比BM算法更快。

#include<iostream>

#include<fstream>

#include<vector>

#include<algorithm>

#include<string>

#include<list>

#include<functional>



using namespace std;



int main()

{

    char *text=new char[100];

    text="substring searching algorithm search";

    char *patt=new char[10];

    patt="search";

    size_t temp[256];

    size_t *shift=temp;



    size_t patt_size=strlen(patt);

    cout<<"size : "<<patt_size<<endl;

    for(size_t i=0;i<256;i++)

        *(shift+i)=patt_size+1;//所有值赋于7，对这题而言



    for(i=0;i<patt_size;i++)

        *(shift+unsigned char(*(patt+i) ) )=patt_size-i;

        /* //       移动3步-->shift['r']=6-3=3;移动三步

        //shift['s']=6步,shitf['e']=5以此类推

    */



    size_t text_size=strlen(text);

    size_t limit=text_size-i+1;



    for(i=0;i<limit;i+=shift[text[i+patt_size] ] )

        if(text[i]==*patt)

        {

        /*       ^13--这个r是位，从0开始算

        substring searching algorithm

        search

        searching-->这个s为第10位，从0开始算

        如果第一个字节匹配，那么继续匹配剩下的

            */



            char* match_text=text+i+1;

            size_t     match_size=1;

            do{

                if(match_size==patt_size)



                    cout<<"the no is "<<i<<endl;

            }while( (*match_text++)==patt[match_size++] );

        }



        cout<<endl;

    }

    delete []text;

    delete []patt;

    return 0;

}



//运行结果如下：

/*

size : 6

the no is 10

the no is 30

Press any key to continue

*/

本文完，更多请参考：六（续）、从KMP算法一步一步谈到BM算法。

顶

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/2621781/blog/915588

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