Tarjan算法求强连通分量

落花浮王杯 提交于 2020-04-07 07:25:54

一、操作过程:tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组,记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的 Dfn值(很绕嘴,往下看你就会明白),Dfn数组记录搜索到该点的时间,也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则,经过搜索遍历该图(无需回溯)和 对栈的操作,我们就可以得到该有向图的强连通分量。

1.数组的初始化:当首次搜索到点p时,Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。

2.堆栈:每搜索到一个点,将它压入栈顶。

3.当点p有与点p’相连时,如果此时(时间为dfn[p]时)p’不在栈中,p的low值为两点的low值中较小的一个。

4.每当搜索到一个点经过以上操作后(也就是子树已经全部遍历)的low值等于dfn值,则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。

5.继续搜索(或许会更换搜索的起点,因为整个有向图可能分为两个不连通的部分),直到所有点被遍历。

 二、操作原理:由于每个顶点只访问过一次,每条边也只访问过一次,我们就可以在O(n+m)的时间内求出有向图的强连通分量。但是,这么做的原因是什么呢?

1.Tarjan算法基于定理:在任何深度优先搜索中,同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说,强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。

2.可以证明,当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点,又是强连通子图Ⅱ中的点,则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。

3.这样,我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意,该子树中的元素在栈中一定是相邻的,且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。

4.强连通分量是由若干个环组成的。所以,当有环形成时(也就是搜索的下一个点已在栈中),我们将这一条路径的low值统一,即这条路径上的点属于同一个强连通分量。

5.如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值,则它是该搜索子树的根。这时,它以上(包括它自己)一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

上面的原理完美的证明了Tarjan算法的可行性和正确性。至于这些原理的证明?【一脸茫然...】仔细想想,这些好像都是显然的.....

所以,证明完成.(●'◡'●)

三、伪代码:

tarjan(u) {

  DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值

  Stack.push(u) // 将节点u压入栈中

  for each (u, v) in E // 枚举每一条边

    if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过

      tarjan(v) // 继续向下找

      Low[u] = min(Low[u], Low[v])

    else if (v in S) // 如果节点v还在栈内

      Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

  if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根

     repeat v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点

     print v

    until (u== v) } 

  

四、来个例子吧,出自集训队资料图论:【强迫症截图截了好久...】

五、模板代码:

 

void tarjan(int i)
{

      int j;

      DFN[i]=LOW[i]=++Dindex; // 取时间戳
    instack[i]=true; // 当前节点入栈
    Stap[++Stop]=i;
    for (edge *e=V[i]; e; e=e->next)
    {
        j=e->t; 
        if (!DFN[j]) // j没有访问过,j是i的子女,(i, j)为树枝边
        {
            tarjan(j);
            if (LOW[j]<LOW[i]) LOW[i]=LOW[j]; // 取子女可以到达的最早时间戳
        }
        else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i]) LOW[i]=DFN[j]; // j被访问过,j是i的祖先,(i, j) 是一条回边,取边中可以到达的最早时间戳
    }
    if (DFN[i]==LOW[i]) // 以i为根的强连通分量已经找到
    {
        Bcnt++;
        do
        {
            j=Stap[Stop--];
            instack[j]=false;
            Belong[j]=Bcnt;
        }
        while (j!=i);
    }
}

void solve()
{
    int i;
    Stop=Bcnt=Dindex=0;
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    for (i=1; i<=N; i++) if (!DFN[i]) tarjan(i);
}

 例题链接:http://www.cnblogs.com/icode-girl/p/5348065.html

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