理论：混沌理论

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混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用来探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）必须用整体、连续的而不是单一的数据关系才能加以解释和预测的行为。

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中文名：混沌理论
外文名：Chaos theory

解释：兼具质性思考与量化分析的方法
原则：三个

原则

混沌理论还有一个是发展特征，他有三个原则：

1、能量永远会遵循阻力最小的途径。

2、始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。

3、这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改变。

定义

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

混沌理论

“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体”

混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的地心引力，杠杆原理，相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。

近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”。 60年代，美国数学家Stephen Smale发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。

背景

1963年美国气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。

混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方世界流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说：

钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶；战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；战事折，国家灭。

马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。

起因

混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，中国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。

混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。

蝴蝶效应与混沌学

1963年美国气象学家爱德华·诺顿·劳仑次]]提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生[[随机]]结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。

丢失一个钉子，

坏了一只蹄铁；

坏了一只蹄铁，

折了一匹战马；

伤了一位骑士，

输了一场战斗；

输了一场战争，

亡了一个帝国。

布莱德福所发明之定律为书目计量学三大定律，布莱德福以应用地球物理学为例：

每区的期刊数之比9：59：258

视为10：50：250

等于1：5：25

所以，推论出其公式为“y=x1+x2+x3...+xn+E”。E 即 error 混沌不明的变因，如同杂讯是无法解释的。

典型例子

“余切序列”是蝴蝶效应的一个典型例子。你看，以下三个数列每一项都是前一项的余切；初值分别为1、1.00001、1.0001，但是从第10项开始，三个数列开始形成巨大的分歧。这就是混沌的数列，经过足够多项后，得到的数字完全可以看作是随机的，混沌的。

a[n+1]=cot(a[n])
甲
1
0.642092616
1.337253178
0.237883877
4.124136332
0.667027903
1.269957474
0.310255611
3.119060463
-44.37343796
-2.424894313
1.147785023
0.45018926
2.069157407
-0.544176342
-1.652562399
0.081948782
12.17541547
-2.42617226
1.150750903
0.44662703
2.088110796
-0.569001376

理论上函数是连续的，现实世界的函数是间断的,因此出现上述问题（计算机无法一直准确计算cot(a[n]))必然从某一位开始进行了去尾。而COT函数本身是不连续的，存在某些地方，因一小点x的差距，导致极大y差别。

混沌特性

(1)随机性：体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性．例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、初始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性。这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在。

(2)敏感性：系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的。时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性。这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。气象学家洛仑兹提出的所谓"蝴蝶效应"就是对这种敏感性的突出而形象的说明。

(3)分维性：混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。例如Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是2.06体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构。

(4)普适性：当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义。其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。这类系统都与费根鲍姆常数相联系。这是一个重要的普适常数δ=4．669201609l0299097…

(5)标度律：混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域。只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质。例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性。

实际应用

社会方面

混沌理论尤其蝴蝶效应通常用于天气、股票市场等在一定时段难以预测的比较复杂的系统中。如果这个差异越来越大，那这个差距就会形成很大的破坏力。为什么天气或者是股票市场会有崩盘和不可预测的自然灾害。

蝴蝶效应在社会学界用来说明：一个微小的机制，如果不加以及时地引导、调节，可能会给社会带来非常大的危害，戏称为“龙卷风”或“风暴”；一个微小的机制，只要正确指引，经过一段时间的努力，将有可能会产生轰动效应，或称为“革命”。

经济方面

2003年，美国发现一宗疑似疯牛病案例，马上就给刚刚复苏的美国经济带来一场破坏性很强的飓风。扇动“蝴蝶翅膀”的，是那头倒霉的“疯牛”，受到冲击的，首先是总产值高达1750亿美元的美国牛肉产业和140万个工作岗位；而作为养牛业主要饲料来源的美国玉米和大豆业，也受到波及，其期货价格呈现下降趋势。但最终推波助澜，将“疯牛病飓风”损失发挥到最大的，还是美国消费者对牛肉产品出现的信心下降。

1998年亚洲发生的金融危机和美国曾经发生的股市风暴实际上就是经济运作中的混沌理论中的一种现象；蝴蝶效应也是混沌理论中的一个概念。它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象：输入端微小的差别会迅速放大到输出端压倒一切的差别。好像一只蝴蝶今天在北京扇动翅膀，可能在大气中引发一系列事件，从而导致某个月纽约一场暴风雨的发生。

语言方面

混沌理论在语言研究领域有着广泛的应用。学术界用蝴蝶效应来解释和研究混沌语言现象，例如《人民日报》于2010年11月10日在头版头条刊发了题为《江苏给力“文化强省”》的文章，由于其权威性和号召力，一直仅限于网络使用的“给力”一词一夜之间红遍中国，扩散到全民词汇系统中，并被收录进第六版《现代汉语词典》。

上世纪80年代，学术界开始采用混沌论及其蝴蝶效应来研究语言问题。1991年在美国伯克利举行的“语言研究的新方法与新视野”研讨会上，中国数学家、语言学家周海中教授曾建议创立“语言混沌论”。他指出，语言混沌论主要从混沌论的角度审视语言及其相关现象，运用混沌论的方法解决语言及其相关现象的非线性问题;为了促进混沌语言研究的发展，有必要建立一种新型的语言研究范式。就情况来看，这种语言研究新范式正在兴起。

运用

混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。理论上研究混沌的目的是多方面的：揭示混沌的本质（内在随机性）、刻画它的基本特征、了解它的动力性态，并力求对它加以控制，使之为人类所用。在过去20年中，混沌在工程系统中逐渐由被认为仅仅是一种有害的现象转变到被认为是具有实际应用价值的现象来加以探讨。近年来的大量研究工作表明，混沌与工程技术联系愈来愈密切，它在生物医药工程、动力学工程、化学反应工程、电子信息工程、计算机工程、应用数学和实验物理等领域中都有着广泛的应用前景。在应用方面，主要包括混沌信号同步化和保密通信，混沌预测，混沌神经网络的信息处理、混沌与分形图像处理，基于混沌的优化方法、混沌生物工程、天气系统、生态系统、混沌经济等。此外，　控制混沌的技术还被应用到神经网络、激光、化学反应过程、流体力学、非线性机械故障诊断系统、非线性电路、天体力学、医疗以及分布参数的物理系统的研究工作中去。当前，在一些混沌显得非常重要而且有用的领域，有目的地产生或强化混沌现象已经成为一个关键性的研究课题。

混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子。由于教育的对象是人，人是随时变动起伏的个体，而教育的过程基本上依循一定的准则，并历经长期的互动，因此，相当符合混沌理论的架构。也因此，依据混沌理论，教育系统容易产生无法预期的结果。此一结果可能是正面的，也有可能是负面的。不论是正面或是负面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的观察之外，更应该累积长期数据，从中分析出可能的脉络出来，以增加教育效果的可预测性，并运用其扩大教育效果。

混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。

过去决策基础的三个主要假定和三个新的现实。根据混沌理论，格拉斯提出，过去作为决策基础的三个主要假定已经不再成立。这些假定是：

最早建立混沌反控制理论，国际权威L.O. Chua评价“陈关荣是国际上混沌控制的早期开拓者之一和混沌反控制理论的创始人”；发现Lorenz系统的对偶系统和它们之间的临界系统，国际权威J.C. Sprott等称为“Chen系统”、“Lu系统”；提出单参数统一系统，国际权威D.J. Hill称为“基准系统”；提出广义Lorenz系统族并建立其理论框架。研究成果在工程技术等领域具有良好的应用前景。

假定1

企业是一个“说到做到”的封闭系统。外界对企业决定采取的行动没有多大干扰。

假定2

经营环境是稳定的。管理者能够充分把握经营环境，从而制定出详尽具体的战略。

假定3

管理者对事件的因果关系有着足够的认识。他们能够顺藤摸瓜，找出每一事件将会导致的变化。

在格拉斯看来，这些旧的假定已经被三个新的现实所代替：

现实1

企业是复杂的“开放”系统，既影响着其所处的环境，又在很大程度上受环境的影响。这意味着，企业的行动可能无法达到它所预期的结果。

现实2

环境是瞬息万变的（不断创造着机会和威胁）。高层管理者不能指望制定出在付诸实施时仍完全有效的详尽战略。

现实3

作为传统决策理论基础的简单线性因果关系模型已经失灵。因此，各种事件的后果是无法预料的。

美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。美国气象学家洛伦茨在20世纪60年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。20世纪70年代后期科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象。作为一门学科的混沌学正处在研讨之中，未形成一个完整的成熟理论。

但有的科学家对混沌理论评价很高，认为“混沌学是物理学发生的第二次革命”。但有的人认为这似乎有些夸张。对于它的应用前景有待进一步揭示。但混沌理论研究同协同学、耗散结构理论紧密相关。它们在从无序向有序和由有序向无序转化这一研究主题有共同任务，因而混沌理论也是自组织系统理论的一个组成部分。近几年来，科学家们在研究混沌控制方面已取得重要进展，实现了第一类混沌，即时间序列混沌的控制实验。英、日科学家还在试验用混沌信号隐藏机密信息的信号传输方法。

混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接着否定了包括宏观世界拉普拉斯（Laplace）式的决定型因果律。

应用

现实意义

混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间－－即原因与结果之间－－关系的一个基本性的错误认识。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。

这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克 (Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。实质上，这一思想就是使蝴蝶效应为你所用。初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是仅用卫星上遗留的极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞。美国国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈，每一圈用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现碰撞。

混沌理论的特征在证券市场中也存在。周K线图看上去与日K线图、小时K线图、5分钟K线图的形状十分相似，这就是证券市场价格的分形特征，我们可以应用5分钟K线图或者小时K线图来推断日K线图或周K线图的形状，为投资决策服务。

蝴蝶效应

近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现，简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”，亦即某地下大雪，经追根究底却发现是受到几个月前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产生气流所造成的。一九六○年代，美国数学家Stephen Smale 发现，某些物体的行径经过某种规则性的变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可寻，呈现失序的混沌状态。

混沌控制

混沌控制由狄透（William Ditto）、贾芬卡（Alan Garfinkel）、约克（Jim Yorke），将此想法化为实用技术，用微小的变化开始，造成希望所想的巨大改变。

控制方法

混沌控制方法有两种，一是通过合适的策略、方法及途径，有效地抑制混沌行为，使李雅普诺夫指数下降进而消除混沌；二是选择某一具有期望行为的轨道作为控制目标。一般情况下，在混沌吸引子中的无穷多不稳定的周期轨道常被作为首选目标，其目的就是将系统的混沌运动轨迹转换到期望的周期轨道上。不同的控制策略必须遵循这样的原则：控制律的设计须最小限度的改变原系统，从而对原系统的影响最小。从这个观点来看，　控制方式可以分为两类：　反馈控制和非反馈控制。反馈控制是一种十分成熟而且应用广泛的工程设计技术，　它主要利用混沌系统的本质特征，　如对于初始点的敏感依赖性，　来稳定已经存在于系统中的不稳定轨道。一般来说，反馈控制的优点在于不需要使用除系统输出或状态以外的任何有关给定被控系统的信息，　不改变被控系统的结构，　具有良好的轨道跟踪能力和稳定性。其缺点在于要求一个比较精确的数学模型和输入目标函数或轨道，　在只存在观测数据而没有数学方程时不能直接使用。和反馈控制方式相比，非反馈控制主要利用一个小的外部扰动，　如一个小驱动信号、噪声信号、常量偏置或系统参数的弱调制来控制混沌，　该控制方式的设计和使用都十分简单，　但无法确保控制过程的稳定性。这两种方式都是通过混沌动力学系统的稍微改变来求得系统的稳定解。在控制混沌的实现中，最大限度地利用混沌的特性，对于确定控制目标和选取控制方法非常关键。混沌控制的基本方法有：OGY方法、连续反馈控制法（外力反馈控制法和延迟反馈控制法）、自适应控制法以及智能控制法（神经网络和模糊控制）等

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