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Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随机变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的COVariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。
现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。
clear all;
N=200;
w(1)=0;
w=randn(1,N);%模拟产生过程噪声
x(1)=0;
A=1;
%根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预
%测出现在状态：
% X(k|k-1)=A*X(k-1|k-1)+B U(k)
% X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量
for k=2:N;
%预测出现在状态
x(k)=A*x(k-1)+w(k-1);%计算U(k)=0时，状态方程的值
end
V=randn(1,N);%模拟产生测量噪声
R=std(V)^2;%V(k)的covariance
Q=std(w)^2;%W(k)的covariance
H=0.2;%
%w(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声
Z=H*x+V;%Z(k)是k时刻的测量值
p(1)=10;
s(1)=1;
for t=2:N;
p(t)=A*p(t-1)+Q;%A=1
%于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P(t)表示covariance
%Q是系统过程的covariance
Kg(t)=H*p(t)/(H.^2*p(t)+R);%计算Kg 卡尔曼增益
%结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算
%值X(k|k)：此处用s(t)表示
s(t)=A*s(t-1)+Kg(t)*(Z(t)-A*H*s(t-1));%最优化估算值X(k|k)：
%已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要令卡尔曼滤
%波器不断的运行下去直到系统过程结束还要更新k状态下X(k|k)的
%covariance：
p(t)=p(t)-H*Kg(t)*p(t);%P(k|k)=(I-Kg(k)*H)*P(k|k-1)，此处I等于1
end
%红色线最优化估算结果滤波后的值，
%绿色线测量值，蓝色线预测值
t=1:N;
plot(t,s,'r',t,Z,'g',t,x,'b');
来源：https://www.cnblogs.com/siahekai/p/5840338.html