拓展欧几里得算法解二元一次不定方程:a*x+b*y=m;
因为:gcd(a,b)| a , gcd(a,b)| b ;
所以:gcd(a,b)| a*x , gcd(a,b) | b*y ==> gcd(a,b)|(a*x+b*y) ==>gcd(a,b)|m ;
所以要求a*x+b*y=m,可以先求a*x+b*y=gcd(a,b).
对于:a*x+b*y=gcd(a,b)
1.当b==0时,gcd(a,b)=a,此时x=1,y=0;
2.先求出 a*x+b*y=gcd(a,b) 的一组解。
因为 a*x1+b*y1=gcd(a,b)
b*x2+a%by2=gcd(b,a%b)
且 gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
所以有a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2
从而得x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2
然后执行程序段:
void expgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return ; } expgcd(b,a%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-(a/b)*y; }
得出一组解x0,y0;
又因为此时的解并非是原不定方程a*x+b*y=m的解并且gcd(a,b)|m
所以的原不定方程的一组解 x1=x0*(m/gcd(a,b)),y1=y0*(m/gcd(a,b));
然后又因为原不定方程有无数组解,并且又有a*(x+(b/gcd(a,b)))+b*(y-(a/gcd(a,b)))=gcd(a,b)
所以得到原不定方程的所有解为
x=x1+b/gcd(a,b)*t;
y=y2-a/gcd(a,b)*t;(t=0,1,2,3,4,5......................)
来源:https://www.cnblogs.com/zhangshu/archive/2011/07/27/2118760.html