拓展欧几里得算法

僤鯓⒐⒋嵵緔 提交于 2020-03-25 02:53:02

拓展欧几里得算法解二元一次不定方程:a*x+b*y=m;

因为:gcd(a,b)|  a    ,   gcd(a,b)|  b   ;

所以:gcd(a,b)|  a*x   ,   gcd(a,b) | b*y   ==>  gcd(a,b)|(a*x+b*y)   ==>gcd(a,b)|m ;

所以要求a*x+b*y=m,可以先求a*x+b*y=gcd(a,b).

对于:a*x+b*y=gcd(a,b)

1.当b==0时,gcd(a,b)=a,此时x=1,y=0;

2.先求出 a*x+b*y=gcd(a,b) 的一组解。

因为 a*x1+b*y1=gcd(a,b)

       b*x2+a%by2=gcd(b,a%b)

且    gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

所以有a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2

从而得x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2

然后执行程序段:

void expgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
     if(b==0)
     {
          x=1;
          y=0;
          return ;
     }
     expgcd(b,a%b,x,y);
     int t=x;
     x=y;
     y=t-(a/b)*y;
}
得出一组解x0,y0;
又因为此时的解并非是原不定方程a*x+b*y=m的解并且gcd(a,b)|m
所以的原不定方程的一组解  x1=x0*(m/gcd(a,b)),y1=y0*(m/gcd(a,b));
然后又因为原不定方程有无数组解,并且又有a*(x+(b/gcd(a,b)))+b*(y-(a/gcd(a,b)))=gcd(a,b)
所以得到原不定方程的所有解为
x=x1+b/gcd(a,b)*t;
y=y2-a/gcd(a,b)*t;(t=0,1,2,3,4,5......................)
标签
易学教程内所有资源均来自网络或用户发布的内容,如有违反法律规定的内容欢迎反馈
该文章没有解决你所遇到的问题?点击提问,说说你的问题,让更多的人一起探讨吧!