Openjudge-NOI题库-旅行-数论

旧街凉风 提交于 2020-03-18 04:35:55

题目描述 Description

转眼毕业了,曾经朝夕相处的同学们不得不都各奔东西,大家都去了不同的城市开始新的生活。在各自城市居住了一段时间后,他们都感到了一些厌倦,想去看看其他人的生活究竟如何,于是他们都选择到另一个同学所在城市去旅游,并且希望旅游的城市各不相同,他们想知道有多少种不同的方案,可是数量实在太多了,他们无法计算出来,你能帮助他们吗。

 输入输出格式 Input/output
输入格式:
一个正整数n(n<200),表示人数。
输出格式:
一个数,表示有多少不同的方案。
 输入输出样例 Sample input/output
样例测试点#1

输入样例:

3
输出样例:

2

提示:
有如下两种方案:
同学1去同学2的城市,同学2去同学3的城市,同学3去同学1的城市。
同学1去同学3的城市,同学3去同学2的城市,同学2去同学1的城市。

思路:  

  为了简化题目,以下我用“元素”表示每位同学,用“位置”表示他们所到达的城市,当n个元素放在n个位置,我们可以用D(n)表示元素与位置各不对应的方法数,那么D(n-1)就表示n-1个元素放在n-1个位置,D(n-1)则表示n-1个元素所产生的的各不对应的方法数,以此类推:

  第一步:我们可以把第n个元素放在一个位置k,一共有n-1种放法。

  第二步:放编号为k的元素,这时候就会出现两种情况:

①将它放到n原来所在的位置,那么对于剩下的n-1个元素,因为第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就会有D(n-2)种放法;

②那么第k个元素不把它放到n原来所在的位置,而是放到其他的位置,这时候,对于这n-1个元素,就会出现D(n-1)种放法

总的来说,n不能移动到自己所在的位置,所以总的移动次数应该是n-1次,因此,递推公式就是两种情况的综合再乘以要移动的元素个数,即:D(n)=(n-1)[D(n-1)+D(n-2)],这个递推式就是有名的错排问题

特殊情况:当n=1时,D(n)=0;当n=2时,D(n)=1

  所以这题就可以变得十分简单了,但写完代码你会发现,当n=13时,就会超出int范围,所以必须使用高精度算法求解,我为了偷懒,就没有打高精度的代码,以下就是我直接根据公式写出来的代码。

 

代码如下:

 1 #include <stdio.h>
 2 int D(int n)
 3 {
 4     if(n==1) return 0;
 5     else if(n==2) return 1;
 6     else return (D(n-2)+D(n-1))*(n-1);
 7 }
 8 int main()
 9 {
10     int n;
11     scanf("%d",&n);
12     printf("%d\n",D(n));
13     return 0;
14 }

 

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