前言
扩展欧几里得算法是一个很好的解决同余问题的算法,非常实用。
欧几里得算法
简介
欧几里得算法,又称辗转相除法。
主要用途
求最大公因数\(gcd\)。
公式
\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)
公式证明
\(a\)可以表示成\(a=kb+a\%b\)(\(k\)为自然数)。
假设\(g\)是\(a,b\)的一个公约数,则有\(g|a, g|b\)。
\(\because a\%b=a-kb\),
\(\therefore g|(a\%b),\therefore g\)是\(b,a\%b\)的公约数。
综上所述,\(a,b\)和\(b,a\%b\)的公约数是一样的,其\(gcd\)也必然相等。
代码实现
inline int gcd(int x,int y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
扩展欧几里得算法
简介
扩展欧几里得建立于欧几里得算法的基础上。(该算法的升级版 徐xgcd有待XuRuiYang奆佬发明)
主要用途
对于已知a,b求解x,y使其满足ax+by=gcd(a,b)。
解法
我们可以对\((a,b)\)不断辗转相除。
根据欧几里得算法,最后剩下的两个数一定为\((gcd(a,b),0)\),
显然,此时\(x=1,y=0\)是原式的一组解。
现在,我们需要考虑,若已知\((b,a\%b)\)的解,如何推出\((a,b)\)的解。
设\(x_0,y_0\)为\((b,a\%b)\)的一组解,则\(x_0·b+y_0(a\%b)=gcd(b,a\%b)\)。
将这个式子转化一下,可以得到\(x_0·b+y_0(a-\lfloor\frac ab\rfloor*b)=gcd(a,b)\)。
去括号,得\(x_0·b+y_0·a-(y_0·\lfloor\frac ab\rfloor)·b=gcd(a,b)\)。
合并同类项,得\(y_0·a+(x_0-y_0·\lfloor\frac ab\rfloor)·b=gcd(a,b)\)。
\(\therefore x=y_0,y=x_0-y_0·\lfloor\frac ab\rfloor\)是原式的一组解。
递归即可。
代码实现
inline int exgcd(int x,int y,int &s1,int &s2) { if(!y) return s1=1,s2=0,x; register int res=exgcd(y,x%y,s2,s1); return s2-=x/y*s1,res; }
扩欧的典型应用:求乘法逆元
关于乘法逆元可以看看这篇博客:浅谈乘法逆元的三种解法
来源:https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/exgcd.html