傅里叶变换公式推导笔记

文章目录

• 傅里叶变换表示形式
• 如何计算参数$a_0，a_n，b_n$？
• 什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?
• 对于周期不是$2\pi$的函数呢？
• 傅里叶变换
• 能量谱密度
• 功率谱密度
• 参考文献

傅里叶变换表示形式

假设任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和：
$\begin{aligned} &f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n sin(n\omega_0 t+\varphi_n)\\ 其中：&A_n sin(n\omega_0 t+\varphi_n)=A_nsin\varphi_ncosn\omega_0 t+A_ncos\varphi_nsinn\omega_0 t \\ \end{aligned}$为计算的方便和表达的整洁，令：
$\begin{aligned} &\frac{a_0}{2}=A_0，a_n = A_nsin\varphi_n， b_n=A_ncos \varphi_n， \omega_0 t=x\\ \color {blue}\Longrightarrow &\color {blue}f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos\ nx+b_nsin\ nx)\tag{1} \end{aligned}$

如何计算参数$a_0，a_n，b_n$？

根据三角函数函数的正交性有：
$\begin{aligned} &\int_{-\pi}^{\pi}cos\ nxdx = 0 (n=1,2,3,\dots)\\ &\int_{-\pi}^{\pi}sin\ nxdx = 0 (n=1,2,3,\dots)\\ &\int_{-\pi}^{\pi}sin\ kx \ cos\ nx dx = 0 (n=1,2,3,\dots)\\ &\int_{-\pi}^{\pi}cos\ kx\ cos\ nxdx = 0 (n=1,2,3,\dots,k\neq n)\\ &\int_{-\pi}^{\pi}sin\ kx\ sin\ nxdx = 0 (n=1,2,3,\dots,k\neq n) \end{aligned}$
1、对(1)进行积分得到$\color {blue}a_0$：
$\begin{aligned} &\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\underbrace {\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k \int_{-\pi}^{\pi}cos\ kx\ dx+b_k \int_{-\pi}^{\pi}sin\ kx\ dx \right]}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \text{0}\\ &\color{blue}\Longrightarrow a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \end{aligned}$
2、原函数乘以$cos(nx)$再进行积分得到$\color {blue}a_n$：
$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos\ &nx\ dx=\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi}cos\ nx\ dx+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k \int_{-\pi}^{\pi}cos\ kx\ cos\ nx\ dx+b_k \int_{-\pi}^{\pi}sin\ kx\ cos\ nx\ dx \right]\\ &\color{blue}\Longrightarrow a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos\ nx\ dx\ \ (n=1,2,3,\dots) \end{aligned}$
3、原函数乘以$sin(nx)$再进行积分得到$\color {blue}b_n$：
$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin\ &nx\ dx=\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi}sin\ nx\ dx+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k \int_{-\pi}^{\pi}cos\ kx\ sin\ nx\ dx+b_k \int_{-\pi}^{\pi}sin\ kx\ sin\ nx\ dx \right]\\ &\color{blue}\Longrightarrow b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin\ nxdx\ \ (n=1,2,3,\dots) \end{aligned}$

什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?

定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件): 设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，如果它满足：

• 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
• 在个周期内至多只有有限个极值点

则$f(x)$的傅里叶级数收敛，并且

• 当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$；
• 当$x$是$f(x)$的间断点时，级数收敛于：$\ \frac12[f(x^-)+f(x^+)]$

对于周期不是$2\pi$的函数呢？

对周期为 $2l$ 的函数$f(x)$，令：$\large {z=\frac{2πx}{2l}}$，得到：$f(z)$的周期为$2\pi$，所以有：
$\begin{aligned} f(x)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos\frac{n\pi x}{l}+b_n sin\frac{n\pi x}{l}) \\ \color{blue}\Longrightarrow a_0&=\frac1l\int_{-l}^{l}f(x)dx\\ \color{blue}\Longrightarrow a_n &= \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx\\ \color{blue}\Longrightarrow b_n &= \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx \end{aligned}$

由欧拉公式：$e^{i\theta}=cos\theta+j\ sin\theta，e^{-j\theta}=cos\theta-j\ sin\theta$ 可推出傅里叶级数的复数表达式：
$\begin{aligned} f(x)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos\frac{n\pi x}{l}+b_n sin\frac{n\pi x}{l}) \\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\left[\frac{1}{2}(e^{j\frac{n\pi x}{l}}+e^{-j\frac{n\pi x}{l}})\right]-b_n\left[\frac{j}{2}(e^{j\frac{n\pi x}{l}}-e^{-j\frac{n\pi x}{l}})\right])\\ &=\underbrace\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}\left(\underbrace\frac{a_n-jb_n}{2}e^{j\frac{n\pi x}{l}}+\underbrace\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-j\frac{n\pi x}{l}}\right)\\ &\Large\quad\ c_0\qquad\quad\ \ c_{n}\qquad\qquad c_{-n}\\[6pt] \Large c_{0}&=\frac1{2l}\int_{-l}^{l}f(x)dx\\[10pt] \Large c_{n}&=\frac{a_n-jb_n}{2}\\ &=\frac12 \left[\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx-\frac{j }{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx\right]\\ &=\frac1{2l} \int_{-l}^{l}\left(f(x)cos\frac{n\pi x}{l}-j \ sin\frac{n\pi x}{l}\right)dx\\ &=\frac1{2l} \int_{-l}^{l}f(x)e^{-j\frac{n\pi x}{l}}dx\\[12pt] \Large c_{-n}&=\frac{a_n-jb_n}{2}\\ &=\frac12 \left[\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx+\frac{j }{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx\right]\\ &=\frac1{2l} \int_{-l}^{l}\left(f(x)cos\frac{n\pi x}{l}+j \ sin\frac{n\pi x}{l}\right)dx\\ &=\frac1{2l} \int_{-l}^{l}f(x)e^{j\frac{n\pi x}{l}}dx\\[12pt] \color{blue}\Longrightarrow f(x)&= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{j\frac{n\pi x}{l}}\ \ (n=0,\pm 1,\pm 2,\dots)\\ 其中\Large c_n&=\frac1{2l} \int_{-l}^{l}f(x)e^{-j\frac{n\pi x}{l}}dx\ \ (n=0,\pm 1,\pm 2,\dots) \end{aligned}$

傅里叶变换

令 $\omega_n=\frac{n\pi}{l}$，则：
$\begin{aligned} f(x)&= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{j\omega_n x},\quad c_n=\frac1{2l} \int_{-l}^{l}f(x)e^{-j\omega_n x}dx \end{aligned}$

令 $F_n=c_n*2l$，则：
$\begin{aligned} F_n&=\int_{-l}^{l}f(x)e^{-j\omega_n x}dx \end{aligned}$

令 $\Delta\omega=\frac\pi l$，则：
$\begin{aligned} f(x)&=\frac1{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_ne^{j\omega_n x}\Delta\omega \end{aligned}$

当 $l\rightarrow\infty，\Delta\omega \rightarrow 0$，离散求和变成连续函数积分 $\Delta\rightarrow d\omega，F_n\rightarrow F(\omega)$：
$\begin{aligned} \color{blue}f(x)&=\frac1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega x}d\omega=\int_{-\infty}^{+\infty}F(f)e^{j2\pi fx}df \\[10pt] \color{blue}F(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-j\omega x}dx\\ \end{aligned}$其中$f=\frac{2\pi} \omega$，即频率

能量谱密度

能量信号$^{【3】}$$f(x)$ 满足绝对可积：$W = \int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)dx < \infty$，其傅里叶变换$\color{blue}F(ω)$ 称为信号 $\color{blue}f(x)$ 的频谱函数，频谱函数的模称为 $f(x)$ 的振幅频谱，函数满足 Parseval 定理：
$W = \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2d\omega = \int_{-\infty}^{+\infty}|F(2\pi f)|^2df$

定义能量型信号的能量谱密度为：$E(\omega) = |F(\omega)|^2$，则有;
$W = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}E(\omega)d\omega= \int_{-\infty}^{+\infty}E(2\pi f)df$

说明时域和频域的能量守恒

功率谱密度

功率信号$^{【3】}$$f(x)$ 在其周期内满足：
$P = \lim_{l \to \infty} \frac{1}{2l}\int_{-T}^{T}f^2(x)dx < \infty$

截取一个周期样本构造函数 $f_l(x)，l$ 作为周期符号 ：
$f_l(x) = \begin{cases} f(x), |x| \le l \\ 0, |x| > l \end{cases}$

则该样本功率：
$P_{l} = \int_{-\infty}^{+\infty}f^2_l(x)dx$

由 Parseval 定理：
$P_{l} = \int_{-\infty}^{+\infty}f_x^2(x)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega, l)|^2d\omega$

两边同时除以周期 $2l$有：
$\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f^2(x)dx = \frac{1}{4\pi l}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega, l)|^2d\omega$

令 $l$ 趋于无穷，因为 $|x| > l$ 时，$f_l(t) =0$，所以在 $(-\infty, +\infty)$ 上该样本平均功率为：
$\begin{aligned} P &= \lim_{l \to \infty}\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f^2(x)dx \\[10pt] &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{l \to \infty} \frac{1}{2l}|F(\omega, l)|^2d\omega \end{aligned}$

功率型信号的平均功率谱密度，简称功率谱密度 $S(\omega)$，则该样本函数功率谱密度和功率分别为：
$\begin{aligned} S(\omega) &= \lim_{l \to \infty}\frac{1}{2l}|F(\omega, l)|^2\\[8pt] \color{blue}\Longrightarrow P&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)d\omega \end{aligned}$

在平稳随机过程中，需要对所有样本函数取统计平均：$^{【7】}$
$\begin{aligned} S(\omega) &= \lim_{l \to \infty} E\left\{\frac{1}{2l}|F(\omega, l)|^2\right\}\\[8pt] \color{blue}\Longrightarrow P&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)d\omega \end{aligned}$

参考文献

【1】狄利克雷定理的证明
【2】傅里叶变换、{能量,功率,互}谱密度、白噪声随机过程
【3】自相关、互相关函数学习笔记
【4】Fourier Series
【5】Derivation of Fourier Series
【6】From Fourier Series to Fourier Transform
【7】第五章 随机过程的功率谱密度

来源：CSDN

作者：xiaochengJF

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43711554/article/details/101035103