不动点迭代算法

今天有个小朋友向我提出了一个「了不起」的问题。

一个有趣的现象

打开一个没有 Bug 的计算器，任意输入一个数值 \(x\)，然后找到函数 \(sin(x)\) 或者 \(cos(x)\) ，连续点击这个函数若干次，你会发现一个有趣的现象：无论初始的 \(x\) 为多少，最后的值总是接近某一个数值（这些数值在某个精度范围内是相等的）。\(sin(x)\) 最后总为 \(0\) ，\(cos(x)\) 最后为 0.73 或者 0.99 （取决于你的计算器是否开启弧度制）。

从数学的角度来看，实际上就是：定义 \(f^1(x) = f(x), f^2(x)=f(f(x)), f^{n}(x)=f(f(f(...f(x))))\) ，\(n\) 个 \(f\) 进行复合函数运算，求 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f^{n}(x)\) 。

显然，这道证明题我不会😅。

万能的搜索引擎

虽然我不会证明，但是找一下是什么知识点还是挺简单的。查了一圈回来，发现这其实是「数值分析」中的不动点方程。上述证明题，\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f^{n}(x)\) 的值实际上是 \(x = f(x)\) 的根。这个方程用「零点定理」，写一个 while-loop 就出来了，所以就不说了。

算了，还是说一下吧，反正闲着也是闲着。设 \(g(x) = x - \cos(x)\)，显然 \(g(0) \cdot g(1) < 0\)，\(g(x)\) 为增函数，因此在 \((0,1)\) 上有 1 个零点。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double func(double x)
{
    return x - cos(x);
}
int main()
{
    const double eps = 1e-8;
    double l = 0, r = 1;
    while ((r - l) >= eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        func(mid) > 0 ? (r = mid) : (l = mid);
    }
    printf("%.8lf %.8lf\n", l, r);
}

这是扩展阅读部分，因为这篇文章看起来篇幅不太够，所以就凑点字数，反正看 blog 的人大多数都是一些「无聊的人」O(∩_∩)O 。

不动点迭代 (Fixed Point Iteration) ，用于求解某些非线性函数 \(f(x)\) 的零点，也就是解方程 \(f(x) = 0\) 。那么这个「不动点迭代算法」到底有什么用呢？

比如我想求 \(f(x) = 1 + 0.5 \sin{x} - x\) 的根，那么可以进行如下变换：
\[ f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1+0.5\sin{x} \]
然后令 \(g(x) = 1+0.5 \sin {x}\) ，对 \(x_{i+1} = g(x_i)\) 执行迭代若干次，就可以得到原方程的根 \(x_n\) 。

有这个「不动点迭代」法，求根就可以简单一点（虽然比「二分法」没简单多少😅）。

double func(double x)
{
    return 1 + 0.5 * sin(x);
}
int main()
{
    srand(time(NULL));
    double x = rand();
    for (int i = 0; i < 10; i++)
        x = func(x);
    printf("%.10lf", x);
}

但这个算法其实对于 \(g(x)\) 来说是有条件的，并不是所有的方程都适用。如果对于方程 \(x = 2x^3-1, g(x)=2x^3-1\) 执行上面的算法，我们是得不到正确的答案 \(x=1\) 的。

Aside
设迭代函数 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且满足：

当 \(x \in [a,b]\) 时，\(a \le g(x) \le b\)

存在一正数 \(L\) 满足 \(0 < L < 1\)，且 \(\forall{x} \in [a,b]\) 均有 \(|g^{'}(x)| \le L\)

则方程 \(x = g(x)\) 在 \([a,b]\) 上有唯一解 \(x_n\) 。对于任意的初值 \(x_0 \in [a,b]\) ，均可通过 \(x_{i+1} = g(x_i)\) 迭代求得 \(x_n\) 。

详细的证明请看这里。

总结

实际上我并没有解决这个小朋友的疑问（因为👴也🔈懂怎么证明），但是至少我又水了一篇 blog，打发了两个小时的无聊时间。唉，什么时候才动手搞毕业设计呢，真是有够堕落的。

众所周知，百度是一家大型广告公关公司，附带高质量的站内搜索引擎🔍，但有一说一，百度文库确实挺好用的😂，特别是找课件看，找期末题库。

来源：https://www.cnblogs.com/sinkinben/p/12422931.html

标签

不动点