动态规划求最长公共子串

动态规划原理

基本思想： 问题的最优解可以有子问题的最优解推导得到，可以先求子问题的最优解，再构造原问题的最优解。如果子问题有较多的重复出现，则可以自底向上从最终子问题向原问题逐步求解。适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。对于有些子问题被重复计算了很多次，我们能够保存已解决的子问题的答案，在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。
动态规划算法的设计步骤：
1、分析优化解的结构
2、递归的定义最优解的代价
3、自底向上的计算优化解的代价并保存，并获取构造最优解的信息
4、根据构造最优解的信息构造最优解
基本模型：
(1)确定问题的决策对象。
(2)对决策过程划分阶段。
(3)对各阶段确定状态变量。
(4)根据状态变量确定费用函数和目标函数。
(5)建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。
状态转移方程的一般形式：
一般形式：
U：状态； X：策略
　　顺推：f[Uk]=opt{f[Uk-1]+L[Uk-1,Xk-1]} 其中， L[Uk-1,Xk-1]： 状态Uk-1通过策略Xk-1到达状态Uk 的费用 初始f[U1]；结果：f[Un]。
倒推：
　　f[Uk]=opt{f[Uk+1]+L[Uk,Xk]}
　　L[Uk,Xk]： 状态Uk通过策略Xk到达状态Uk+1 的费用
　　初始f[Un]；结果：f(U1)

动态规划的简单应用-最长公共子序列

整体思想就是，申请一个二维的数组初始化为 0，然后判断对应的字符是否相等，相等的话
arr[i ][j]= arr [ i - 1 ][ j - 1] + 1 。
当 i = 0 或者 j = 0 的时候单独分析，字符相等的话 arr [ i ][ j ] 就赋为 1 。
arr [ i ][ j ] 保存的就是公共子串的长度。

public String longestString(String s1,String s2) {
		int len1=s1.length();
		int len2=s2.length();
		int [][] arr=new int[len1][len2];
		int maxLen=0;
		int maxEnd=0;
		for(int i=0;i<len1;i++) {
			for(int j=0;j<len2;j++) {
				if(s1.charAt(i)==s2.charAt(j)) {
					if(i==0 || j==0) {
						arr[i][j]=1;
					}else {
						arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+1;
					}
				}
				if(arr[i][j]>maxLen) {
					maxLen=arr[i][j];
					maxEnd=i;
				}
			}
		}
		return s1.substring(maxEnd-maxLen+1,maxEnd+1);
	}

来源：CSDN

作者：——铎

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43729960/article/details/104570222