min25_筛是一种用于快速求出一种积性函数的筛法.
它的使用有三个条件:
1.必须是积性函数
2.必须是低阶多项式的形式
3.\(p^j\)的函数值能够快速求出,不一定是\(O(1)\).
首先定义\(g(n,j)\)表示[1,n]中最小质因子\(>p_j\)或者它是质数,满足两条件之一\(i\)的\(i^k\)(低阶多项式那一部分?)的和.
\(g(n,j)=\sum_{i=1}^n[min\ p>p_j|i\in P]i^k\)
\(g(n,0)=\sum\limits_{i=2}^ni^k\)
转移的话分为\(p_j^2<=n\),\(p_j^2>n\).
1.若\(p_j^2\)>n,则不可能存在一个合数满足\(min\ p>p_j\),所以\(g(n,j)=g(n,j-1)\)
2.\(p_j^2\)<=n.
考虑从\(g(n,j-1)\)移动到\(g(n,j)\)的损失必定是\(min\ p==p_j\)的那些数的函数值.
\(g(n,j)=g(n,j-1)-p_j^k(g(\frac{n}{p_j},j-1)-\sum\limits_{i=1}^{j-1}p_i^k)\)
所以
\[
g(n,j)=\begin{cases}
g(n,j-1)&p_j^2>n\\
g(n,j-1)-p_j^k(g(\frac{n}{p_j},j-1)-\sum\limits_{i=1}^{j-1}p_i^k)&p_j^2<=n\\
\end{cases}
\]
质数函数值前缀和可以线性筛的时候顺便处理.
发现g的第二维是一定的,所以可以省掉一维.
接下来定义\(S(n,j)\)
\(S(n,j)=\sum\limits_{i=1}^n[min\ p>=p_j]f(i)\)
转移讨论质数和非质数的情况.
\[S(n,j)=(othersF)*(g(n,|P|)-\sum\limits_{i=1}^{j-1}p_i^k)+\sum\limits_{k>=j}^{p_k^2<=n}\sum\limits_{e=1}^{p_k^{e+1}<=n}(F(p_k^e)S(\frac{n}{p_k^e},k+1)+F(p_k^{e+1}))\]
解释一下.
首先把所有的合法的质数的函数值求出来.
由于g函数只求出来了\(i^k\)的质数的所有和,因此如果这个积性的函数还包括其他东西还要给它乘上去.
后面是合法的合数的函数值.
枚举k作为最小质因数再枚举出来一个幂次.
因为积性所以可以直接一个F*S.
加上的\(F(p_k^{e+1})\)是由于质因子里没有1这个东西.
所以对于\(p_k^e(e>1)\)来说就直接被干掉了.
所以要加上\(F(p_k^{e+1})\).
为什么是\(e+1\)呢,因为\(p^1\)作为质数已经被计算了.
很多很多的小细节:
1.因为推式子中出现的\(p_j^2<=n\)的性质,使得两个函数都只需要\(\sqrt n\)的质数来处理.
2.因为用到的所有的g和S下标都是\(\frac{n}{...}\)的形式,所以说只有\(\sqrt n\)种取值.
3.在求g时省掉第二维需要把第一维从大到小枚举,由于整除分块时恰好是从大到小的所以直接正序枚举了.
4.g函数是萎的...因为我们只用它求质数的答案,我并不知道是否有合数的答案...
5.g函数是可以作为整个的F进行答案的计算的.
只不过只有初始值变成了\(F(i)\)
\(g(n,j)=g(n,j-1)-p_j^k(g(\frac{n}{p_j},j-1)-\sum\limits_{i=1}^{j-1}p_i^k)\)中的\(p_j^k\)并不能变成\(F(p_j^k)\).(这都是牛口胡的)
6.g函数初始值不是自然数幂和,是从2开始的.
来源：https://www.cnblogs.com/hzoi2018-xuefeng/p/12381436.html