1.问题发现
在高中生物-遗传与进化-基因的本质学习中，有一个十分经典的问题。
即：给定碱基对数n，不限定每种碱基(A,C,G,T)的个数，求出最多的DNA种数。
在所有的教材，辅导书，以及老师的授课过程中，对于这个问题的答案，一般都是\(4^n\)或者\(\frac {4^n} {2}\)。
对于\(4^n\)的思路，即每个位置有\(4\)种碱基对可能，一共有\(n\)组，根据乘法原理，故为\(4^n\)。
对于\(\frac {4^n} {2}\)的思路，即在上一种思路的基础上，考虑到有重复的情况，便除了个\(2\)。
但是，@thorn,@opethrax以及本人的对于这些答案深感怀疑，于是我们便手算了当碱基对数为\(2\)时的所有情况。
利用计算机程序进行打表，以及查询有关\(DNA\)的资料后，最终我们确定当\(n=2\)时，结果理应为\(10\)。
这个答案都不能用上面的公式解答，于是我们继续思考探索。
2.深入探究
通过@opethrax同学辛苦的打表，观察，他发现存在一些情况被忽略。
原先我们认为，一个\(DNA\)分子拥有\(3'\)与\(5'\)段，\(3\)代表三碳糖，\(5\)代表五碳糖。
如下图，从两条链的\(3'\)端分别扫描，一种序列最多被统计到\(2\)次。
一个是\(AGCTA\)，另一种是\(TAGCT\)。
但是，存在一种\(DNA\)分子，从其两条链的\(3'\)端分别扫描，结果相同。
如下图：
都为\(AGCT\)。
所以这种情况下，具有这种性质的\(DNA\)会被少统计一次。
且我们不难发现，满足这种性质当且仅当\(DNA\)链的长度为偶数（如图一，若为奇数，会出现不对称的情况，即不满足这种性质）。
那么我们分类讨论，之前那个\(\frac {4^n} {2}\)的公式，可以在\(n\)为奇数时使用。
对于\(n\)为偶数的情况，我们要在原公式的基础上，加上少统计的个数。
现在的问题，即是寻找拥有这种特殊性质的链的个数。
我们发现，当一条链满足一种类似循环节的方式进行完整地重复，根据碱基互补配对原则，另外一条链也是与其对称的，符合这种特殊性质。
且这种循环节必须要满足一些性质：
1.有且只有AT或GC
2.AGCT全都包含，且要么是AT之间包含CG，要么是CG之间包含AT
所以我们只需要构造出一条链的排列，剩下那条按照碱基互补配对原则填充即可。
这种循环节的长度定为偶数，根据分治的思想，我们不难得出，一条\(DNA\)序列碱基对数为偶数，其有\(4^{\frac {n}{2}}\)条链会被少统计一次。
至此，我们可以得出公式：
\[
a_n=\begin{cases}\frac{4^n}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ n=2k+1\\\frac{4^n+4^{\frac{n}{2}}}{2}\ n=2k\ \ (k\in N^*)\end{cases}
\]
这个式子经过打表以及oeis.org的确认，结果正确。
3.声明与感谢
其实\(DNA\)的结构远比人类脑海中想象的要复杂的多，这里我们只是讨论了理论下的情况。
感谢您的阅读。若您存在任何疑问，或觉得我们有些地方存在纰漏，欢迎您联系我们，我们十分乐意与您探讨。
再次感谢两位同学@thorn,@opethrax深夜的探讨与陪伴，若没有他们的帮助，我们很难单独进行下去。
他们两位有关这个内容的博客写的都非常优秀，建议您去访问他们的首页以进行更多的了解。
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4.深夜随想
造物主强大的力量是人们无法想象到的。人类很难走到没有任何疑惑的那一天。
每一个个体脑中冒出的新奇想法，或提出的一个问题，都有可能成为筑起人类从无知到有知的桥梁下的一粒石子。
对科学的探索，不是浅尝辄止，而是无穷无尽。
“生于此处却不知此处
日光倾城，万物生长，又是为何
若没有大地的拥抱，我们早已消失于茫茫宇宙之中
若没有原子之稳定，我们亦不复存在
无人问天地变换，斗转星移，是为何故
宇宙又是源于何处
它是否无始无终
时间若愿意倒流，我们的认知是否还会有局限
世间最渺小之物又是什么
滚滚长江，却只留有过去，不知未来
浩淼宇宙，为何我们在此相遇”
——《Moonlight》
来源：https://www.cnblogs.com/BeyondLimits/p/12381403.html