02-27 朴素贝叶斯

文章目录

• 朴素贝叶斯
• 朴素贝叶斯学习目标
• 朴素贝叶斯引入
• 朴素贝叶斯详解
• 朴素贝叶斯构造
• 朴素贝叶斯基本公式
• 朴素贝叶斯参数估计
• 特征值为离散值
• 特征值为稀疏的离散值
• 特征值为连续值
• 三种不同的朴素贝叶斯
• 多项式朴素贝叶斯
• 伯努利朴素贝叶斯
• 高斯朴素贝叶斯
• 朴素贝叶斯流程
• 输入
• 输出
• 流程
• 朴素贝叶斯优缺点
• 优点
• 缺点
• 小结

朴素贝叶斯

  朴素贝叶斯是基于贝叶斯公式与特征条件独立假设的分类方法(注：贝叶斯公式是数学定义，朴素贝叶斯是机器学习算法)。朴素贝叶斯基于输入和输入的联合概率分布，对于给定的输入，利用贝叶斯公式求出后验概率最大的输出$y$。即可以总结为以下三点

1. 已知类条件概率密度函数表达式和先验概率
2. 利用贝叶斯公式转换成后验概率
3. 根据后验概率大小进行决策分类

朴素贝叶斯学习目标

1. 朴素贝叶斯构造
2. 朴素贝叶斯基本公式
3. 朴素贝叶斯参数估计
4. 多项式朴素贝叶斯、伯努利朴素贝叶斯、高斯朴素贝叶斯
5. 朴素贝叶斯流程
6. 朴素贝叶斯优缺点

朴素贝叶斯引入

  假设现在有一个有两个类别的鸢尾花数据集，并且已经知晓每个数据的分类情况，并且假设数据的分布如下图所示。

# 朴素贝叶斯引入图例
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
%matplotlib inline

font = FontProperties(fname='/Library/Fonts/Heiti.ttc')

iris_data = datasets.load_iris()
X = iris_data.data[0:100, [0, 1]]
y = iris_data.target[0:100]

plt.scatter(X[0:50, [0]], X[0:50, [1]], color='r',
            s=50, marker='o', label='山鸢尾')
plt.scatter(X[50:100, [0]], X[50:100, [1]],
            color='b', s=50, marker='x', label='杂色鸢尾')
plt.xlabel('花瓣长度(cm)', fontproperties=font)
plt.ylabel('花瓣宽度(cm)', fontproperties=font)
plt.legend(prop=font)
plt.show()

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  现在假设有一个未知分类的鸢尾花数据$(x_1(花瓣长度),x_2(花瓣宽度))$，用$p_1(x_1,x_2)$表示样本属于山鸢尾(red)的概率，用$p_2(x_1,x_2)$表示属于杂色鸢尾(blue)的概率，$p_1(x_1,x_2) + p_2(x_1,x_2) = 1$。

  假设如果$p_1(x_1,x_2) > p_2(x_1,x_2)$则$(x_1,x_2)$为山鸢尾，否则为杂色鸢尾，即选择概率高的类别作为新样本的分类结果。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，选择具有最高概率的决策。

  如果使用条件概率来表示这个上述所说的分类，则可以表示为
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ & p(red|x_1,x_…
  即如果出现一个新样本，假设数据集有$n$个特征、$m$个分类，只需要计算这个样本的
$arg\,max\,(p(red|x_1,x_2),p(blue|x_1,x_2))$
  如果只有两个特征$x_1$和$x_2$，那么计算并不会很难，按照条件公式计算即可，但是你有没有想过如果有$n$特征，$K$个分类呢？即计算
$\underbrace{arg\,max}_{c_k}\,p(c_j|x_1,x_2,\ldots,x_n) \quad(k=1,2,\cdots,K)$
  上述的计算量是非常大的，那么我们有没有一种简单的方法能够改善该公式呢？有是有一定有的，即朴素贝叶斯法。

朴素贝叶斯详解

朴素贝叶斯构造

  假设现有一个训练集有$K$个类别$c_1,c_2,\ldots,c_k$，$m$个样例，每个样例有$n$个特征，训练集可以表示为
$((x_1^{(1)},x_2^{(1)},\cdots,x_n^{(1)},y_1)(x_1^{(2)},x_2^{(2)},\cdots,x_n^{(2)},y_2),\cdots,(x_1^{(m)},x_2^{(m)},\cdots,x_n^{(m)},y_m))$
  从样本中可以得到

    朴素贝叶斯的先验分布为$p(c_k) \quad (k=1,2,\ldots,K)$,

    朴素贝叶斯的条件概率分布为$p(x_1,x_2,\ldots,x_n|c_k)$,

    利用条件概率公式得到$X$和$Y$的联合分布$p(X,Y)$
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  由于$p(x_1,x_2,\ldots,x_n|c_k)$是一个$n$个维度的条件分布，计算难度超级复杂，因此假设$X$的$n$个维度之间相互独立(注：如果特征之间有大部分不是独立存在的，则应该尽量不要使用朴素贝叶斯模型，而应该考虑使用其他的分类方法)，则可以把这个$n$维的条件分布改写成
$p(x_1,x_2,\ldots,x_n|c_k) = p(x_1|c_k)p(x_2|c_k)\cdots{p(x_n|c_k)}$
虽然改写后的联合分布计算更加简单，但是由于假设所有的特征都是独立的，因此会相应的降低预测的不准确性。

朴素贝叶斯基本公式

  假设已经得到了训练集的$p(c_k)$和$p(x_j|c_k)$值，假设现有一个测试样本$(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$，则可以根据贝叶斯公式求得$K$个分类$c_1,c_2,\ldots,c_k$各自的概率。
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ p(c_k|x_{1},x_…
  求得所有分类各自的概率之后，哪一个分类的概率最大，则样本属于哪一个分类。
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ 样本类别 & = max\,…
其中$y = max\,f(x)$表示$y$是$f(x)$中所有的值中最大的输出；$y = arg\,max f(x)$表示$y$是$f(x)$中，输出的那个参数$t$。

  由于每一个类别的概率公式的分子都是相同的，把分子去掉后则可以把上述公式转化为朴素贝叶斯模型的基本公式
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ 样本类别 & = \unde…

朴素贝叶斯参数估计

  朴素贝叶斯模型的基本公式为
$样本类别 = \underbrace{arg\,max}_{c_k}\,p(c_k) \prod_{j=1}^{n} p(x_{j}|c_k)$
其中$p(c_k)$通过极大似然估计很容易算出样本类别$c_k$的出现频率，假设$c_k$出现$m_k$次，则
$p(c_k) = {\frac{m_k}{m}}$
而对于$p(x_j|c_k)$，则需要考虑特征值的取值与分布情况。

特征值为离散值

  假设$x_j$是离散值，则可以假设$x_j$符合多项式分布，这种情况下的$p(x_j|c_k)$是样本类别$c_k$中特征$x_j$出现的频率，假设$x_j$在$c_k$中出现的次数为$m_{k_j}$，则
$p(x_j|c_k) = {\frac {m_{k_j}} {m_k} }$
  由于假设所有特征相互独立，如果某个特征没有出现在某个类别中，则$p(x_j|c_k) = 0$会使分类产生偏差，一般采用贝叶斯估计解决该问题，即引入拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)，即
$p(x_j|c_k) = {\frac {m_{k_j} + \lambda} {m_k + S_j\lambda} }$
其中$\lambda\leq0$，当$\lambda=0$时为最大似然估计；$\lambda=1$时称为拉普拉斯平滑，$S_j$为第j个特征可以能取值的个数(注：由于$x_j$是离散的值，$x_j$有可能出现多次，并且每次出现的值可能不同)。

特征值为稀疏的离散值

  假设$x_j$是非常稀疏的离散值，即各个特征出现的概率很低，这个时候可以假设$x_j$符合伯努利分布，即特征$x_j$出现为$1$，不出现为$0$。则$p(x_j|c_k)$是$x_j$在样本类别$c_k$中出现的频率，则
$p(x_j|c_k) = p(x_j|c_k)x_j + (1- p(x_j|c_k))(1-x_j)$

特征值为连续值

  假设$x_j$是连续值，则假设$x_j$符合高斯分布(正态分布)，则可以把$x_j$直接带入正态分布公式，即可得
$p(x_j|c_k) = {\frac {1} {\sqrt{2\pi\sigma_k^2}} } exp (-{\frac {(x_j - \mu_{k})^2} {2\sigma_k^2}})$
其中$\mu_k$是所有$x_j$的期望值，$\sigma_k^2$是所有$x_j$的方差

三种不同的朴素贝叶斯

多项式朴素贝叶斯

  多项式朴素贝叶斯(Multinomial Naive Bayes)特征值符合多项式分布，多用于高维度向量分类，即样本特征为多元离散值，因此最常用于文章分类。

from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB

伯努利朴素贝叶斯

  伯努利朴素贝叶斯(Bernoulli Naive Bayes)特征值符合伯努利分布，针对布尔类型特征值的向量做分类，即样本特征为二元离散值，或者为稀疏的多元离散值。

from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB

高斯朴素贝叶斯

  高斯朴素贝叶斯(Gaussian Naive Bayes)特征符合高斯分布，多用于特征值为连续值，可以利用高斯概率密度公式进行分类拟合。

from sklearn.naive_bayes import GaussianNB

朴素贝叶斯流程

输入

  有$m$个实例$n$维特征的数据集
$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)\}$
其中$x_i$是第$i$个实例的特征向量即$({x_i}^{(1)},{x_i}^{(2)},\cdots,{x_i}^{(n)})$，${x_i}^{(j)} \quad(j=1,2,\cdots,n)$是第$i$个实例的第$j$个特征，${x_i}^{(j)}\in\{a_{j1},a_{j2},\cdots,a_{jS_j}\}$，$a_{jl} \quad(l=1,2,\cdots,S_j)$是第$j$个特征可能的第$l$个值，$y_i\in\{c_1,c_2,\cdots,c_K\}$，$c_k \quad (k=1,2,\cdots,K)$是第$k$个类；实例$x$。

输出

  实例$x$的类别。

流程

1. 计算先验概率和条件概率，即
   KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ & p(Y=c_k) = {…
2. 对于给定的实例$x=(x_{(1)},x_{(2)},\cdots,x_{(n)})^T$，计算
   $p(Y=c_k)\prod_{j=1}^n p(X^{(j)} = x^{(j)}|Y=c_k)$
3. 确定实例$x$的类别
   $y = \underbrace{arg\,max}_{c_k}\,p(Y=c_k) \prod_{j=1}^n p(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$

朴素贝叶斯优缺点

优点

1. 朴素贝叶斯源自古典数学理论，其中用到了古典概率，有稳定的分类效果
2. 对小规模数据表现很好，不需要使用(OvR)即可以处理多分类问题，并且可以把数据集拆分训练达到增量的目的
3. 由于假设特征间相互独立，对缺失值不敏感，常用于文本分类

缺点

1. 由于假设特征间相互独立，也导致了分类的准确性会有误差(注：针对这一点可以调节关联不独立的特征，即半朴素贝叶斯算法)
2. 由于后验概率的计算往往都假设先验概率已知，对数据的分布也有假设，有可能会因为假设的不确定性导致分类的准确性有误差

小结

  朴素贝叶斯法是基于贝叶斯公式的一个理论，如果能记住贝叶斯公式并对概率论能提前有一个大概的了解，会更利于理解朴素贝叶斯法。

  朴素贝叶斯法在能够很好地解决多分类问题，但是由于它最大的缺点，即假设特征都是独立的，所以一般被用于文本分类，因为一般会认为单词与单词之间都是相互独立的。

  下一篇将会介绍一个在深度学习流行之前在工业上最常用的分类器，即支持向量机。

来源：CSDN

作者：小猿取经

链接：https://blog.csdn.net/weixin_46032351/article/details/104543980