返回一个整数数组中最大子数组的和(1)

题目要求:

输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。
数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。
求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)
发表一篇博客文章讲述设计思想，出现的问题，可能的解决方案（多选）、源代码、结果截图、总结。

设计思想及代码和结果截图:

1.最开始的想法很简单,使用穷举法。我们列出所有的子数组之和，然后取出其中的最大值，代码如下：

public static void main(String[] args) {
    int [] a = {1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
    int maxsofar = 0;
    int sum = 0;
    //进入循环
    for(int i=0;i<8;i++) {
        sum=0;
        //每次求出一个子数组的和就和目前的最大值进行比较
        for(int j=i;j<8;j++) {
            sum+=a[j];
            maxsofar = Math.max(maxsofar, sum);
        }
    }
    System.out.println(maxsofar);
}

运行结果如图:

可以看到，结果是正确的，但这个的时间复杂度为O(n2),明显超出了我们题目要求的O(n)，通常最直观的算法是最慢的，我们接着使用别的算法。

2.之后，意识到老师提出的动态规划算法，于是在网上查阅了相关资料，发现了Kadane算法。这个算法是动态规划的一种具体应用，其设计思想也很好理解：对于数组a，用ci标记子数组a[0..i]的最大和，那么则有 ci=max{ai,ci−1+ai} 但仔细观察我们发现，若ci-1<=0 那么ci=ai。用e表示以当前为结束的子数组的最大和，以替代数组c，那么我们可以表示为：e=max{ai,e+ai}。代码实现如下：

public static void main(String[] args) {
    int [ ] a = {1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
    int result = FindGreatestSumOfSubArray(a);
    System.out.println(result);
}

private static int FindGreatestSumOfSubArray(int[] a) {
    int len=a.length;
    if(len==0) {
        return 0;
    }
    //第一个变量对应公式中的e
    //第二个变量记录已扫描到的子数组最大值的和
    int max_ending_here,max_so_for;
    max_ending_here=max_so_for=a[0];
        //对数组进行扫描,扫描一次记录一次
    for(int x:a) {
        max_ending_here = Math.max(x, max_ending_here+x);
        max_so_for = Math.max(max_so_for, max_ending_here);
    }
    return max_so_for;
}

结果截图如下：

可以看到，Kadane算法只循环了数组一次，所以时间复杂度为O(n)，很好的满足了题目的要求。

之后，老师提出了进阶的问题，如果将数组变成一个循环数组（环形数组），即头尾相接，又该如何求解最大子数组的和呢？这次的问题不再有时间复杂度限制。

我们注意到，可以把问题分成两个部分：如果最大子数组的和在数组的下标范围内，那么就可以直接应用上面的Kadane算法，可如果最大子数组的和超出了下标范围，又该如何求解呢？我查阅了相关资料，在leetnode发现了一位大神提出的思路：跨越边界的情况可以对数组求和再减去无环的子数组的最小和，即可得到跨越边界情况下的子数组最大和。将两种情况的最大值取出，即是问题的解。下面是代码：

    public static int maxSubarraySumCircular(int[] A) {
        if(A==null||A.length<1){
            return 0;
        }
        int curMax,max,curMin,min,sum;
        curMax = max = curMin =min = sum = A[0];
        for(int i=1;i<A.length;i++){
            sum+=A[i];
            curMax = Math.max(A[i],curMax+A[i]);
            curMin = Math.min(A[i],curMin+A[i]);
            max = Math.max(max,curMax);
            min = Math.min(min,curMin);
        }
        if(max<0)
            return max;
        return Math.max(sum-min,max);
}
    public static void main(String[] args) {
        int i = 0, n;
        int a[] = new int[100];
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        n = scanner.nextInt();
        for (i = 0; i < n; i++) {
            a[i] = scanner.nextInt();
        }
        int max = maxSubarraySumCircular(a);
        scanner.close();
        System.out.println(max);
    }