Tarjan-强连通分量

心已入冬 提交于 2020-02-26 15:37:20

这是一个漫(jian)长(nan)的过程

请大家耐心读完,相信你一定能学会

首先来介绍一下强连通分量
在这里插入图片描述
神奇海螺指引你:

有向图强连通分量:在有向图G中,如果两个顶点vi,vj间(vi>vj)有一条从vi到vj的有向路径,同时还有一条从vj到vi的有向路径,则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。——百度百科

Tarjan是基于迪法师(DFS)的一种算法,可以说是一种流(du)批(liu)的操作,本蒟蒻苦哈哈的学了好几天才学会强连通分量和缩点;

在这里推荐给大家几道题:受欢迎的牛消息扩散
这些题我会在后期的博客中进行详细的讲解

步入正轨:

图中{6}是第一个被发现的强连通分量,其次是{5},最后被发现的是{3,4,1,2}(顺序无所谓)

图丑勿喷
Tarjan算法是解决强连通分量和缩点问题的一种比较常见的方法
接下来开始🔛一步一步的
首先给你一个图(求其中的强连通分量)(注:以下图片摘自:~~
在这里插入图片描述
在这里我们假设从点1开始遍历,并且将访问的点压入栈中

在进行操作之前,我们要明确Tarjan中的两个至关重要的数组:DFN和LOW;
DFN[x]:表示这个点x几次被遍历到;
LOW[x]:表示点x或点x的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号;
即LOW[x]=min{LOW[x],LOW[next]};
其中next为x的子节点;
接下来,我们来一步一步的找;

第一遍从1直接一直遍历到6,另访问到的点的初始low和dfn都为num++;num为计数器;

但当我们遍历到6是发现6没有子节点了,所以low[6]=dfn[6]=4;发现一个强连通分量{6},6出栈;
在这里插入图片描述

退回到5,low[5]=min(low[5],low[6]);
low[6]=4;而low[5]=dfn[5]=3;
所以low[5]=3;
low[5]=dfn[5];所以5也是一个强连通分量;5出栈;

在这里插入图片描述
返回3发现3有子节点4,搜索4,并且4入栈;发现4也有子节点,6已经为强连通分量且不再栈中,跳过;
遍历1,发现一在栈中且已经被访问过,那么4值得被发现;
所以low[4]=min(low[4],dfn[1]);所以low[4]=1;
4遍历完,又因为dfn[4]!=low[4],所以4不退站;回到3,low[3]=min(low[3],low[4]);
所以low[3]=1;3访问完,又因为dfn[3]!=low[3],所以3不退站;
在这里插入图片描述
回到1,发现1还有子节点2,2入栈;发现2的子节点4已经被访问且在栈中,所以low[2]=min(dfn[4],low[2]);
所以low[2]=5;访问完2,回到一,发现low[1]=dfn[1];所以将栈中的所有点出栈,并且这些点为一个强连通分量;
在这里插入图片描述
至此,所有点已经都被访问,算法结束。
时间复杂度为O(N+M);
下面插上代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string.h>
#include<stack>
#define Size 101
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
        f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
stack<int> atack;
vector<int> map[Size]; 
int a,b,c,d,num=0,low[Size],dfn[Size];
bool inst[Size];
void tarjan(int now)
{
	dfn[now]=low[now]=++num;
	atack.push(now);
	inst[now]=true;
	for(int i=0;i<map[now].size();i++)
	{
		int next=map[now][i];
		if(dfn[next]==0)
		{
			tarjan(next);
		    low[now]=min(low[now],low[next]);
		}else if(inst[next]==1)
	    {
		low[now]=min(low[now],dfn[next]);
	    }
	}
	if(dfn[now]==low[now])
	{
		int p;
		do
		{
			p=atack.top();
			atack.pop();
			cout<<p<<" ";
			inst[p]=0;
		}while(p!=now);
		cout<<endl;
	}
}
int main()
{
	a=read();b=read();
	for(int i=1;i<=b;i++)
	{
		c=read();d=read();
		map[c].push_back(d);
	}
	memset(dfn,0,sizeof(dfn));
	memset(inst,false,sizeof(inst));
	for(int i=1;i<=a;++i)
	{
		if(dfn[i]==0)
		tarjan(i);
	}
	return 0;
}

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