题外话：
很久没写博客了，因为前一段时间过年在家放假，又因为自己保研了，所以一直比较闲。整个假期，基本都在准备毕业设计的相关内容。我毕业设计的方向是关于搜索引擎的，因此，期间阅读了大量相关论文。阅读了很多论文和技术书籍之后，我有几点感触。首先，发现国内很多论文或是书籍只是大量引述其他人的研究结果，自己的独特的见解非常少，一篇文章，70%的内容都是在以介绍为主，感觉发这样的论文是没有什么意义的。相反，国外尤其是像MIT，斯坦福，google之类的领域专家发表很多极其优秀的论文，阅读后给人一种震撼。我之前在网上搜索技术文章或是论文的时候经常绕过英文的，现在发现国外的确有非常多优秀的外文文章，所以无障碍英文阅读能力是提升自己专业水平的重要因素。 我现在已经逐渐习惯阅读外文文章和书籍。
期间，我还翻译了一篇关于网络信息采集和索引的外文文章，收获很大。不是因为，我从中获得了多少知识，而是在翻译的过程中，我了解了作者精心的设计思路以及严谨的语言表达，也锻炼了我翻译的能力以及组织语言的能力。
废话不多说了，开始正题，写个在爬虫系统中常用的URL去重经典算法Bloom Filter.
正题：
Bloom Filter概念和原理
引用一篇讲述非常好的文章。http://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1495500，其博客里还有很多关于Bloom filter比较深入的研究，而且博客篇篇都很精彩，非常值得学习。
焦萌 2007年1月27日
Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构，它利用位数组很简洁地表示一个集合，并能判断一个元素是否属于这个集合。Bloom Filter的这种高效是有一定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（false positive）。因此，Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。
集合表示和元素查询
下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组，每一位都置为0。
为了表达S={x1, x2,…,xn}这样一个n个元素的集合，Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映射的位置hi(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，如果一个位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。
在判断y是否属于这个集合时，我们对y应用k次哈希函数，如果所有hi(y)的位置都是1（1≤i≤k），那么我们就认为y是集合中的元素，否则就认为y不是集合中的元素。下图中y1就不是集合中的元素。y2或者属于这个集合，或者刚好是一个false positive。
错误率估计
前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位还是0的概率是：
其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中，需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e-kn/m是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：
令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：
(1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)k就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明[2] ，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：
相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更为方便。
最优的哈希函数个数
既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。
先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m))，我们令g = k ln(1 − e−kn/m)，只要让g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e-kn/m，我们可以将g写成
根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)时，g取得最小值。在这种情况下，最小错误率f等于(1/2)k ≈ (0.6185)m/n。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。
需要强调的一点是，p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn)，p’ = (1 − 1/m)kn，我们可以将g’写成
同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时，g’取得最小值。
位数组的大小
下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，允许的最大错误率为є，下面我们来求位数组的位数m。
假设X为全集中任取n个元素的集合，F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x，在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果，即s能够接受x。显然，由于Bloom Filter引入了错误，s能够接受的不仅仅是X中的元素，它还能够є (u - n)个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中，s真正表示的只有其中n个，所以一个确定的位数组可以表示
个集合。m位的位数组共有2m个不同的组合，进而可以推出，m位的位数组可以表示
个集合。全集中n个元素的集合总共有
个，因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合，必须有
即：
上式中的近似前提是n和єu相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于є的情况下，m至少要等于n log2(1/є)才能表示任意n个元素的集合。
上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小，这时f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n。现在令f≤є，可以推出
这个结果比前面我们算得的下界n log2(1/є)大了log2 e ≈ 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过є，m至少需要取到最小值的1.44倍。
总结
在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增加了错误率这个因素之后，Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。
自从Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之后，Bloom Filter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年，伴随着网络的普及和发展，Bloom Filter在网络领域获得了新生，各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见，随着网络应用的不断深入，新的变种和应用将会继续出现，Bloom Filter必将获得更大的发展。
参考资料
[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.
[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.
[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf
[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt
1 /* 2 * bloom.h 3 * 4 * Created on: 2012-2-22 5 * Author: xiaojay 6 */ 7 8 #ifndef BLOOM_H_ 9 #define BLOOM_H_10 #include <vector>11 #include "hashFun.h"12 13 class Bloom14 {15 public :16 Bloom(int size , std::vector<HashFun*> hashfunclist );17 ~Bloom();18 void add(const char * text);19 bool check(const char * text);20 21 private :22 const static int CHARBITSIZE = 8;23 int size;24 char * arr;25 std::vector<HashFun*> hashfunclist;26 inline void setbit(long pos);27 inline bool getbit(long pos);28 };29 30 #endif /* BLOOM_H_ */31 32 #include"bloom.h"33 #include<assert.h>34 35 Bloom::Bloom(int size , std::vector<HashFun*> hashfunclist)36 {37 assert(hashfunclist.size()>0);38 this->size = size;39 this->hashfunclist = hashfunclist;40 this->arr = new char [size];41 }42 43 Bloom::~Bloom()44 {45 if(this->arr!=NULL)46 {47 delete this->arr;48 }49 }50 51 void Bloom::add(const char * text)52 {53 int nfunc = hashfunclist.size();54 long code = 0;55 for(int i=0;i<nfunc;i++)56 {57 code = hashfunclist.at(i)->gethashval(text);58 59 if(code/CHARBITSIZE>size) return;60 else61 {62 setbit(code);63 }64 }65 }66 67 bool Bloom::check(const char * text)68 {69 int nfunc = hashfunclist.size();70 long code = 0;71 for (int i=0;i<nfunc;i++)72 {73 code = hashfunclist.at(i)->gethashval(text);74 if(code/CHARBITSIZE>size) return false;75 else76 {77 if getbit(code) continue; else return false;78 }79 } return true;80 }81 82 inline void Bloom::setbit(long code)83 {84 arr[code/CHARBITSIZE] |= (1<<(code%CHARBITSIZE));85 }86 87 inline bool Bloom::getbit(long code)88 {89 if(!(arr[code/CHARBITSIZE] & (1<<(code%CHARBITSIZE))))90 {91 return false;92 }93 return true;94 }
#ifndef HASHFUN_H_#define HASHFUN_H_class HashFun{public : virtual long gethashval(const char * key) = 0;};#endif /* HASHFUN_H_ */
#include "hashFun.h"class HashFunA : public HashFun{public: virtual long gethashval(const char * key) { unsigned int h=0; while(*key) h^=(h<<5)+(h>>2)+(unsigned char)*key++; return h%80000; }};#include"hashFun.h"class HashFunB : public HashFun{public: virtual long gethashval(const char * key) { unsigned int h=0; while(*key) h=(unsigned char)*key++ + (h<<6) + (h<<16) - h; return h%80000; }};
#include<iostream>#include<stdio.h>#include"hashFunA.h"#include"hashFunB.h"#include"bloom.h"#include<vector>using namespace std;int main(){ /* * Create two hash functions */ HashFunA *funa = new HashFunA(); HashFunB * funb = new HashFunB(); vector<HashFun*> hashfunclist; hashfunclist.push_back(funa); hashfunclist.push_back(funb); /* * Create Bloom object with two parameters : * size of the store array and list of hash functions */ Bloom bloom(10000,hashfunclist); ///Add some words to bloom filter bloom.add("hello"); bloom.add("world"); bloom.add("ipad"); bloom.add("iphone4"); bloom.add("ipod"); bloom.add("apple"); bloom.add("banana"); bloom.add("hello"); /* * Test */ char word[20]; while(true) { cout<<"Please input a word : "<<endl; cin>>word; if(bloom.check(word)) { cout<<"Word :"<<word<<" has been set in bloom filter."<<endl; } else { cout<<"Word :"<<word<<" not exist !" <<endl; } } return 0;}
Bloom Filter的基本实现很简单，但是其原理和思路是非常出色的。这个可以应用到URL去重或是某些缓存系统上。在很多面试题里面，也会出现类似大数据量下去重或是筛选的问题，采用Bloom Filter算法就可以很轻松的解决了。
来源：https://www.cnblogs.com/coser/archive/2012/02/23/2364894.html