以下内容摘自 “第5章 计算学科中的数学方法”： http://px.zjnu.net.cn/attachments/month_0404/ch5-7.pdf
5.7.2 形式化方法
1形式化方法
王元元教授在他的著作计算机中的逻辑学中将形式化方法定义为彻头彻尾的符号化+抽象公理化
本书所指的形式化方法特指这一含义
2形式系统的组成部分
形式系统由下面几个部分组成
1初始符号初始符号不具有任何意义
2形式规则形式规则规定一种程序借以判定哪些符号串是本系统中的公式哪些不是
3公理即在本系统的公式中确定不加推导就可以断定的公式集
4变形规则变形规则亦称演绎规则或推导规则变形规则规定从已被断定的公式如何得出新的被
断定公式被断定的公式又称为系统中的定理
在以上4个组织部分中前两个部分定义了一个形式语言后两个部分在该形式语言上定义了一个
演绎结构形式系统由形式语言和定义于其上的演绎结构组成
在计算机系统中它的软硬件都是一种形式系统它们的结构也可以用形式化方法描述
程序设计语言更是不折不扣的形式语言系统
3形式系统的基本特点
1严格性
形式系统中初始符号和形式规则都要进行严格的定义不允许出现在有限步内无法判定的公式
形式系统采用的是一种纯形式的机械方法它的严格性高于一般的数学推导
2抽象性
抽象性不是形式系统的专利抽象是人们认识客观世界的基本方法只不过形式系统具有更强的抽象性
形式系统的抽象性表现在它自身仅仅是一个符号系统除了表示符号间的关系字符号串的变换外不表示任何别的意义
4形式系统的局限性
一个形式系统如果它是无矛盾的那么它就具有下面两个局限性
1不完备性
1931年哥德尔提出的关于形式系统的不完备性定理指出如果一个形式的数学理论是
足够复杂的复杂到所有的递归函数在其中都能够表示而且它是无矛盾的那么在这一
理论中存在一个语句而这一语句在这一理论中是既不能证明也不能否证的
2不可判定性
如果对一类语句C而言存在一个算法AL使得对C中的任一语句S而言可以利用算法
AL来判定其是否成立则C称为可判定的否则称为不可判定的
著名的停机问题就是一个不可判定性的问题该问题是指一个任给的图灵机对于一
个任给的输入而言是否停机的问题图灵证明这类问题是不可判定的
需要指出的是计算机系统就是一种形式系统因此计算机系统一样也具有形式系统
的局限性
5形式化与公理化
形式化不一定导致公理化，公理系统也不一定是形式系统，如欧氏几何公理系统就不是形式系统。
形式化与公理化虽然不同但在近代数学中形式系统大都是形式化的公理系统
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