平衡二叉树(AVL) | 易学教程

文章目录

平衡二叉树的概念
AVL树的实现原理
AVL树节点的定义
AVL树的插入
AVL树的旋转
AVL树性能分析

AVL

平衡二叉树的概念

平衡二叉树(Self-Balancing Binary Search Tree 或 Height-Balanced Binary Search Tree),是一种二叉排序树,其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1.
二叉排序树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子BF)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$ ，搜索时间复杂度O( $log_2 n$ )。

AVL树的实现原理

平衡二叉树构建的基本思想就是在构建二叉排序过程中,每当插入一个结点时,先检查是否因插入而破坏,若是,则找出最小不平衡子树.在保持二叉排序树的前提下,调整最小不平衡子树.在保持二叉排序树的前提下,调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系,进行相应的旋转,使之形成新的平衡子树.

AVL树节点的定义

为了AVL树实现简单，AVL树节点在定义时维护一个平衡因子，具体节点定义如下：

class AVLTreeNode
{
  public AVLTreeNode(int val)
 {
    this.val = val;
 }
  public AVLTreeNode left = null;   // 节点的左孩子
  public AVLTreeNode right = null;  // 节点的右孩子
  public AVLTreeNode parent = null;  // 节点的双亲
  public int val = 0;
  public int bf = 0;  // 当前节点的平衡因子
}

AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

实现

boolean insert(int val){
  /* 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
 1. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
 2. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
 3. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
 4. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
 5. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
 6. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
  */
    // cur插入后，parent的平衡因子一定遭到破坏，必须对parent的平衡因子进行调整
    while(null != parent){
     
      // 更新双亲节点的平衡因子
      if(cur == parent.left)
        parent.bf--;
      else
        parent.bf++;
      if(parent.bf == 0)
        break;
      else if(parent.bf == -1 || parent.bf == 1) {
        cur = parent;
        parent = cur.parent;
     }
      else {
        // parent节点的平衡因子为2，违反了AVL树的性质
        // 此时需要对以parent为根的二叉树进行旋转处理
        if(2 == parent.bf) {
          // parent的平衡因子为2，说明parent的右子树比较高，最终需要左旋
          // ......
       }
        else{
          // parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树比较高，最终需要右旋
          // ......
       }
        // 旋转完成之后，以parent为根的树已经和插入之前的高度相同，不会再对上层树的平衡性造成影响
        break;
     }
   }
    return true;
 }

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
- 60可能是根节点，也可能是子树
  如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
  如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

// 左单旋
private void rotateLeft(AVLTreeNode parent){
  // 注意这几个特殊孩子节点的命名
  // subR为双亲的右孩子
  AVLTreeNode subR = parent.right;
 
  // 为subR的左孩子
  AVLTreeNode subRL = subR.left;
  // 节点的孩子域的指向只需要改变两个：结合图解
  // 1. 旋转完成后subRL成为parent的右孩子
  parent.right = subRL;
  if(null != subRL)
    subRL.parent = parent;
  // 2. 旋转完成之后，parent成为subR的左孩子
  subR.left = parent;
 
  // 更新parent和subR的双亲
  AVLTreeNode pparent = parent.parent;
  parent.parent = subR;
  subR.parent = pparent;
  // 更新原parent的上层
  // 1. 旋转前，parent可能是根节点
  // 2. 旋转前，parent可能是一棵子树，既然是子树，那parent可能是某个节点的左子树也可能是右子
树
  if(null == pparent)
    root = subR;
  else{
    if(pparent.left == parent)
      pparent.left = subR;
    else
      pparent.right = subR;
 }
  // 旋转完成后，parent和subR节点的平衡因子已经是0
  parent.bf = subR.bf = 0;
}

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

// 先左单旋再右单旋
// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
private void rotateLR(AVLTreeNode parent){
  AVLTreeNode subL = parent.left;
  AVLTreeNode subLR = subL.right;
 
  // 旋转之前，保存subLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
  int bf = subLR.bf;
  rotateLeft(parent.left);
  rotateRight(parent);
  if(1 == bf)
    subL.bf = -1;
  else if(-1 == bf)
    parent.bf = 1;
}

新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

新节点插入后，假设以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
- 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
- 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
- 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
- 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

即：pParent与其较高子树节点的平衡因子时同号时单旋转，异号时双旋转。
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

AVL树性能分析

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $log_2 (N)$ 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

来源：CSDN

作者：毛竹

链接：https://blog.csdn.net/l_2581154176/article/details/104444542

标签

平衡二叉树

因子分析

avl