交叉熵损失函数原理详解

信息可以量化？

信息熵，信息熵，怎么看怎么觉得这个 “熵” 字不顺眼，那就先不看。我们起码知道这个概念跟信息有关系。而它又是个数学模型里面的概念，一般而言是可以量化的。所以，第一个问题来了：信息是不是可以量化？

起码直觉上而言是可以的，不然怎么可能我们觉得有些人说的废话特别多，“没什么信息量”，有些人一语中的，一句话就传达了很大的信息量。

为什么有的信息量大有的信息量小？

有些事情本来不是很确定，例如明天股票是涨还是跌。如果你告诉我明天 NBA 决赛开始了，这两者似乎没啥关系啊，所以你的信息对明天股票是涨是跌带来的信息量很少。但是假如 NBA 决赛一开始，大家都不关注股票了没人坐庄股票有 99% 的概率会跌，那你这句话信息量就很大，因为本来不确定的事情变得十分确定。

而有些事情本来就很确定了，例如太阳从东边升起，你再告诉我一百遍太阳从东边升起，你的话还是丝毫没有信息量的，因为这事情不能更确定了。

所以说信息量的大小跟事情不确定性的变化有关。

那么，不确定性的变化跟什么有关呢？
一，跟事情的可能结果的数量有关；二，跟概率有关。
先说一。
例如我们讨论太阳从哪升起。本来就只有一个结果，我们早就知道，那么无论谁传递任何信息都是没有信息量的。
当可能结果数量比较大时，我们得到的新信息才有潜力拥有大信息量。

二，单看可能结果数量不够，还要看初始的概率分布。例如一开始我就知道小明在电影院的有 15*15 个座位的 A 厅看电影。小明可以坐的位置有 225 个，可能结果数量算多了。可是假如我们一开始就知道小明坐在第一排的最左边的可能是 99%，坐其它位置的可能性微乎其微，那么在大多数情况下，你再告诉我小明的什么信息也没有多大用，因为我们几乎确定小明坐第一排的最左边了。

那么，怎么衡量不确定性的变化的大小呢？怎么定义呢？
这个问题不好回答，但是假设我们已经知道这个量已经存在了，不妨就叫做信息量，那么你觉得信息量起码该满足些什么特点呢？

一，起码不是个负数吧，不然说句话还偷走信息呢~

二，起码信息量和信息量之间可以相加吧！假如你告诉我的第一句话的信息量是 3，在第一句话的基础上又告诉我一句话，额外信息量是 4，那么两句话信息量加起来应该等于 7 吧！难道还能是 5 是 9？

三，刚刚已经提过，信息量跟概率有关系，但我们应该会觉得，信息量是连续依赖于概率的吧！就是说，某一个概率变化了 0.0000001，那么这个信息量不应该变化很大。

四，刚刚也提过，信息量大小跟可能结果数量有关。假如每一个可能的结果出现的概率一样，那么对于可能结果数量多的那个事件，新信息有更大的潜力具有更大的信息量，因为初始状态下不确定性更大。

那有什么函数能满足上面四个条件呢？负的对数函数，也就是 - log（x）！底数取大于 1 的数保证这个函数是非负的就行。前面再随便乘个正常数也行。
a. 为什么不是正的？因为假如是正的，由于 x 是小于等于 1 的数，log（x）就小于等于 0 了。第一个特点满足。
b. 咱们再来验证一下其他特点。三是最容易的。假如 x 是一个概率，那么 log（x）是连续依赖于 x 的。done
c。四呢？假如有 n 个可能结果，那么出现任意一个的概率是 1/n，而 - log(1/n) 是 n 的增函数，没问题。
d。最后验证二。由于 - log(xy) = -log(x) -log(y)，所以也是对的。学数学的同学注意，这里的 y 可以是给定 x 的条件概率，当然也可以独立于 x。

By the way，这个函数是唯一的（除了还可以多乘上任意一个常数），有时间可以自己证明一下，或者查书。

ok，所以我们知道一个事件的信息量就是这个事件发生的概率的负对数。

信息量 I(X)= -log p(x)

最后终于能回到信息熵。信息熵是跟所有可能性有关系的。每个可能事件的发生都有个概率。信息熵就是平均而言发生一个事件我们得到的信息量大小。所以数学上，信息熵其实是信息量的期望。

信息熵

接下来就可以了解一下通俗的解释交叉熵与相对熵

交叉熵损失函数

熵的本质是香浓信息量log⁡(1/p) 的期望

既然熵的本质是香浓信息量log⁡(1/p) 的期望，那么便有 $\log (\frac{1}{p})$

一个时间结果的出现概率越低，对其编码的 bit 的长度就越长。熵的本质的另一个解释是编码方案完美时，最短平均编码长度的是多少

在概率论或信息论中，KL 散度 (Kullback–Leibler divergence)，又称相对熵（relative entropy)，是描述两个概率分布 P 和 Q 差异的一种方法。它是非对称的，这意味着 D(P||Q) ≠ D(Q||P)。特别的，在信息论中，D(P||Q) 表示当用概率分布 Q 来拟合真实分布 P 时，产生的信息损耗，其中 P 表示真实分布，Q 表示 P 的拟合分布。简单的说，KL 散度或者相对熵它是用来度量两个分布 $P, Q$

相对熵的数学定义如下