光栅图形学——直线段的扫描转换算法

   数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近地似显示直线。当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个象素中，确定最佳逼近该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。

一、数值微分（DDA）算法

1、算法原理

     根据直线方程y=kx+b，由两个直线的端点(x0,y)(x1y1)可求得斜率k。可以将变量x设定初值为x0，y初值y0。每次x步进1，同时使y步进k，可获得表示直线的所有近似的结果集。

2、算法实现

//数值微分法 void DrawLine(CDC * pDC,int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color) { int x; float y,k; k = (float)(y1-y0)/(x1-x0); y = (float)y0; for (x=x0;x<x1;x++) //每次x步进1 { y += k; //每次y增量为k pDC->SetPixel(x, (int)(y+0.5), color); //每次对y的值四舍五入 } }

3、补充

     这个算法只适合|k|<=1的情况。在|k|>1时，必须交换x和y的位置，y每增加1，x增加1/k。

     在这个算法中，y和k必须用浮点数来表示，每一步都要对y进行四舍五入后取整，不利于机器实现

二、中点划线法

1、算法原理

     在直线斜率在0~1直接的情况下，设当前像素点为(x,y)，那么它的下一个像素点就是p1(x+1,y)或者p2(x+1,y+1)，若称p1和p2的中点M(px+1,y+0.5)，Q为理想直线与x+1垂线的交点，当Q在M的下方时，p1即为下一个像素点，否则p2即为下一个像素点。

     下面讨论中点画线法的实现。过点(x0,y0)、(x1, y1)的直线段L的方程式为F(x, y)=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q点的上方还是下方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可。为此，我们构造判别式:

d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c

     当d<0时，M在L(Q点)下方，取P2为下一个象素；

     当d>0时，M在L(Q点)上方，取P1为下一个象素；

     当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素；

注意到d是xp, yp的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率。

    若当前象素处于d³0情况，则取正右方象素P1(xp+1, yp),要判下一个象素位置，应计算 d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a，增量为a。

    若d<0时，则取右上方象素P2(xp+1, yp+1)。要判断再下一象素，则要计算d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ，增量为a＋b。画线从(x0, y0)开始，d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b，因  F(x0, y0)=0，所以d0=a+0.5b。

    由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法程序。

2、算法实现

//中点划线法 void DrawLine(CDC * pDC,int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color) { int a,b,d1,d2,d,x,y; a = y0-y1; b = x1-x0; d = 2*a +b; //2d的初始值 d1 = 2*a; //由上文分析可得，当d<0，2d的增量为2*a d2 = 2*(a+b); //当d>0时2d的增量 x = x0; y = y0; pDC->SetPixel(x,y,color); while (x<x1) { if (d<0) {x++;y++;d+=d2;} //当d<0时，逼近点应在d的上侧 else {x++;d+=d1;} //当d>0时，逼近点在d下侧 pDC->SetPixel(x,y,color); } }

三、Bresenham算法

1、算法原理

    过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列象素中与此交点最近的象素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求象素。

    如图所示，设直线方程为yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。假设列坐标象素已经确定为xi，其行坐标为yi。那么下一个象素的列坐标为xi＋1，而行坐标要么为yi，要么递增1为yi＋1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d0＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。一旦  d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时，直线与垂线x=xi＋1交点最接近于当前象素(xi，yi)的右上方象素(xi＋1，yi＋1)；而当d<0.5时，更接近于右方象素(xi＋1，yi)。为方便计算，令e＝d－0.5，e的初值为－0.5，增量为k。当e≥0时，取当前象素(xi，yi)的右上方象素(xi＋1，yi＋1)；而当e<0时，取(xi，yi)右方象素(xi＋1，yi)。

2、算法实现

//Bresenham画线算法 void DrawLine(CDC * pDC,int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color) { int x,y; float k,e; k = (float)((y1-y0)/(x1-x0)); e = -0.5; x = x0; y = y0; for (int i=x0;i<x1;i++) { pDC->SetPixel(x,y,color); x += 1; e += k; if (e>=0) {y++;e-=1;} } }

     上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换：2*e*dx。那么可以改进如下

//改进后的Bresenham画线算法 void DrawLine(CDC * pDC,int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color) { int dx = x1-x0, dy = y1 - y0; float e = (float)-dx; int x = x0, y = y0; for (int i=x0; i<x1; i++) { pDC->SetPixel(x,y,color); x++; e = e*2*dy; if (e>=0) { y++;e=e-2*dx; } } }

来源：https://www.cnblogs.com/S-E-P/archive/2010/01/01/2045083.html