树
客观世界中许多事物存在层次关系
eg:人类社会家谱
社会组织结构
图书信息管理
分层次组织在管理上具有更高的效率
查找（Searching）：给定某个关键字K，从集合R中找出关键字与K相同的记录
静态查找：集合中记录是固定的
没有插入和删除操作，只有查找
动态查找：集合中记录是动态变化的
除查找，还可能发生查找和删除
静态查找
- 顺序查找
typedef struct LNode *List;
struct LNode{
ElementType Element[MAXSIZE];
int Length;
}
int SequentialSearch(List Tb1, ElementType K){
int i;
Tb1->Element[0]=K;//哨兵！这样可以减少判断
for(i=Tb1->Length;Tb1->Element[i]!=K;i--);
return i;
}
- 二分查找 Binary Search O(log(n))
假设n个数据元素的关键字满足有序\(k_1<k_2<k_3<...<k_n\)，并且是连续存放（数组），那么可以进行二分查找。
typedef LNode *List;
struct LNode{
ElementType Element[MAXSIZE];
int Length;
}
int BinarySearch(List PtrL,ElementType k){
int left,right,mid;
left=1;
right=PtrL->Length;
while(left<=right){
mid=(right+left)/2;
if(PtrL->Element[mid]>k) right=mid-1;
if(PtrL->Element[mid]<k) left=mid+1;
else return mid;
}
return NotFound;
}
11个元素的二分查找判定树
判定树上每个结点需要的查找次数刚好为该结点所在的层数，查找成功时查找次数不会超过判定树的深度。n个结点的判定树的深度为logn+1
\[ASL=(4*4+4*3+2*2+1)/11=3\]
树定义
树：n个结点构成的有限集合
当n=0时，称为空树
对于任一棵非空树（n>0），它具备一下性质：
（1）树中有一个称为“根”的特殊结点，用r表示
（2）其余结点可分为m个互不相交的有限集\(T_1,T_2,...,T_m\)，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树(SubTree)”。
子树是不相交的；
除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点；
一棵N个结点的树有N-1条边
基本术语
- 结点的度（Degree）：结点的子树的个数
- 树的度：树的所有结点中最大的度数
- 叶结点：度为0的结点
- 父结点： 有子树的结点是其子树的根结点的父结点
- 子结点：
- 兄弟结点：
- 路径和路径长度：
- 祖先结点：
- 子孙结点：
- 结点的层次（level）：规定根结点在1曾，其他任一结点的层数是其父结点的层数加一
- 树的深度(Depth)：树中所有结点中最大层次是这棵树的深度
树的表示
- 数组表示法：关系表达不清楚
- 多个指针的链表： 比如每个结点3个叉，则3n个指针，而实际只用n-1个，所以浪费了2n+1个指针
- 儿子-兄弟表示法：第一个指针指向其第一个child，第二个指针指向其第一个兄弟
结构是统一的；空间浪费少；
旋转45度可以看成二叉树（知道为什么二叉树重要了吧！）
二叉树的定义
- 二叉树T：一个有穷的结点集合
这个集合可以为空
若不为空，则它是由根结点和称为其左子树\(T_L\)和右子树\(T_R\)的两个不相交的二叉树组成
二叉树有五种基本形态
二叉树的子树有左右顺序之分
特殊的二叉树
（1）斜二叉树
（2）完美二叉树/满二叉树
（3）完全二叉树：有n个结点的二叉树，对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号，编号为i结点与满二叉树中变好为i结点在二叉树中位置相同二叉树几个重要性质
(1)第i层最大结点数为：\(2^{i-1},i>=1\)
(2)深度为k的二叉树最大结点数为：\(2^k-1,k>=1\)
(3)对任何非空二叉树T，若\(n_0\)表示叶结点的个数，\(n_2\)是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系\(n_0=n_2+1\)
\[n_0+n_1+n_2-1=0n_0+n_1+2n_2\]- ADT二叉树
类型名称：二叉树 数据对象集：一个有穷的结点集合 若不为空，则由根结点和其左右二叉子树组成 操作集： 1. Booloen isEmpty(BinTree BT):判断BT是否为空 2. void Traversal（BinTree BT）：遍历，按某顺序访问每个结点 3. BinTree CreatBinTree():创建一个二叉树
常见的遍历方法：
（1）先序：根、左、右
（2）中序：左、根、右
（3）后序：左、右、根
（4）层次遍历
二叉树的存储结构
- 顺序存储结构
完全二叉树：按从上至下、从左至右顺序存储n个结点的完全二叉树的结点父子关系
非根结点的父结点：i/2取下界
结点的左孩子：2i
结点的右孩子：2i+1
一般二叉树也可以用这种结构，但会造成空间浪费（补充成一个完全二叉树）
- 链式存储
typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode{
ElementType Data;
BinTree Left;
BinTree Right;
}
二叉树的遍历
- 先序遍历
（1）先访问根结点
（2）先序遍历其左子树
（3）先序遍历其右子树
void PreOrderTraversal(BinTree BT){
if(BT){
printf("%d",BT->Data);
PreOrderTraversal(BT->Left);
PreOrderTraversal(BT->Right);
}
}
- 中序遍历
（1）中序遍历其左子树
（2）访问根结点
（3）中序遍历其右子树
void InOrderTraversal(BinTree BT){
if(BT){
InOrderTraversal(BT->Left);
printf("%d",BT->Data);
InOrderTraversal(BT->Right);
}
}
- 后序遍历
（1）后序遍历其左子树
（2）后序遍历其右子树
（3）访问根结点
void PostOrderTraversal(BinTree BT){
if(BT){
PostOrderTraversal(BT->Left);
PostOrderTraversal(BT->Right);
printf("%d",BT->Data);
}
}
先序、中序和后序遍历过程，遍历过程中经过结点的路线一样，只是访问各结点的时机不同（妙啊！）
- 非递归遍历
中序遍历非递归遍历算法
非递归算法实现的基本思路：使用堆栈
遇到一个结点，就把它压栈，病区遍历它的左子树；
当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问它；
然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树
void InOrderTraversal(BinTree BT){
BinTree T=BT;
Stack S=CreatStack(MaxSize);
while(T||!IsEmpty(S)){//最妙的就是这个循环，结束的条件就是树访问完并且堆栈空了
while(T){
Push(S,T);
T=T->Left;
}
if(!IsEmpty(S)){
T=Pop(S);
printf("%5d",T->Data);
T=T->Right;
}
}
反思：
这一段，太妙了！怎么能想出这一段呢？首先，把遍历路径的感觉找到。遍历的路径都是先一直向左，向左的过程中不断把元素压到栈中，向左到头以后，推出栈内的元素并访问。然后在其右指针中遍历该结点的右子树
void PreOrderTraversal(BinTree BT){
BinTree T=BT;
Stack S=CreatStack(MaxSize);
while(T||!IsEmpty(S)){//最妙的就是这个循环，结束的条件就是树访问完并且堆栈空了
while(T){
Push(S,T);
printf("%5d",T->Data);
T=T->Left;
}
if(!IsEmpty(S)){
T=Pop(S);
T=T->Right;
}
}
void PostOrderTraversal(BinTree BT){
BinTree T=BT;
Stack S=CreatStack(MaxSize);
while(T||!IsEmpty(S)){//最妙的就是这个循环，结束的条件就是树访问完并且堆栈空了
while(T){
Push(S,T);
T=T->Left;
}
if(!IsEmpty(S)){
T=Pop(S);
T=T->Right;
}
printf("%5d",T->Data);//还得再想想
}
来源：https://www.cnblogs.com/maxwell-maxwill/p/12317882.html