栈与递归 | 易学教程

文章目录

递归
函数调用
递归工作栈
递归算法的效率分析
递归转换为非递归

递归算法优点

递归

若在一个函数、过程或数据结构定义的内部又直接（或间接）出现定义本身的应用，则称它们是递归。

三种常使用递归的情况：
定义是递归的
例1：阶乘函数

long Fact(long n)
{
  if (n==0) return 1;  //递归终止的条件
  else return n*Fact(n-1);  //递归步骤
}

例2：Fibonacci数列

long Fib(long n)
{
  if(n==1||n==2) return 1;  //递归终止的条件
  else return Fib(n-1) + Fib(n-2);  //递归步骤
}

分解-求解的策略称为分治法
采用分治法进行递归求解问题需要满足的条件：
（1）能将一个问题转变成一个新问题，而新问题与原问题的解法相同或类同，不同的仅是处理的对象，并且这些处理对象更小且变化有规律
（2）可以通过上述转化而使问题简化
（3）必须有一个明确的递归出口，或称递归的边界

分治法：

void p(参数表)
{
  if(递归结束条件成立)可直接求解；  //递归终止条件
  else  p(较小的参数);  //递归步骤
}

数据结构是递归的

链表是一种递归的数据结构，因为其结点LNode的定义由数据域data和指针域next组成，而指针域next是一种指向LNode类型的指针，即LNode的定义中又用到了其自身。
广义表，二叉树等也是典型的具有递归特性的数据结构。

在递归算法中，当递归结束条件条件成立只执行return操作时，分治法求递归问题的算法可简化为：
   void p(参数表)
   {
     if(递归结束条件不成立)
       p(较小的参数)；
   }

例：遍历输出链表中各个结点的递归算法

void TraverseList(LinkList p)
{
  if(p==NULL) return; //递归终止
  else
  {
    cout<<p->data<<endl;  //输出当前结点的数据域
    TraverseList(p->next);  //p指向后继结点继续递归
  }

}

void TraverseList(LinkList p)
{
  if(p)
  {
    cout<<p->data<<endl;
    TraverseList(p->next);
  }
}

问题的解法是递归的

一些问题本身没有明显的递归结构，但用递归求解比迭代求解更简单，例如Hanoi塔问题、八皇后问题、迷宫问题等。

例：n阶Hanoi塔问题
在这里插入图片描述

int m=0;
void move(char A,int n,char C)
{
  cout<<++m<<","<<n<<","<<A<<","<<C<<endl;
}

void Hanoi(int n,char A,char B,char C)
{ //将塔座A上的n个圆盘按规则搬到C上，B做辅助他
塔
   if(n==1) move(A,1，C); //将编号为1的圆盘从A移到C
   else
   {
     Hanoi(n-1,A,C,B);  //将A上编号为1至n-1的圆盘移到B，C做辅助塔
     move(A,n,C);  //将编号为n的圆盘从A移到C
     Hanoi(n-1,B,A,C);  //将B上编号为1至n-1的圆盘移到C，A做辅助塔
   }
}

函数调用

一个函数运行期间调用另一个函数时，在运行被调用函数之前，系统需先完成：
（1）将所有的实参、返回地址等信息传递给调用函数保存
（2）为被调用函数的局部变量分配存储区
（3）将控制转移到被调函数的入口
从被调函数返回调用函数之前，系统需先完成：
（1）保存被调函数的计算结果
（2）释放被调函数的数据域
（3）依照被调函数保存的返回地址将控制转移到调用函数

递归工作栈

求解 4！活动记录进栈过程
求解 4！活动记录出栈过程

递归算法的效率分析

1： 时间复杂度的分析

longFact(long n)
{
  long temp; 
  if(n==0) return 1; //活动记录退栈（1）
  else temp=n*Fact(n-1); //活动记录进栈（2）
  return temp;  //活动记录退栈（3）
}

设Fact(n)的执行时间是T(n)。此递归函数中if(n==0) return 1;的时间复杂度为O(l)，递归调用Fact(n-1)的执行时间是T(n-1)，所以else temp=n*Fact(n-1);的执行时间是O(l)+T(n-1)。设两数相乘和赋值的时间复杂度都是O(l),则对某常数C、D有如下递归方程
在这里插入图片描述
设n>2，利用上式对T(n-1)展开，即在上式中用n-1代替n得到

T(n-1)=C+T(n-2)

再代入T(n)=C+T(n-1)中，有

T(n)=2C+T(n-2)

同理，n>3时有

T(n)=3C+T(n-3)

以此类推，当n>i时有

T(n)=iC+T(n-i)

最后，当i=n时有

T(n)=nC+T(0)=nC+D

求得递归方程的解为：

T(n)=O(n)

采用这种方法计算Fibonacci数列和Hanoi塔问题递归算法的时间复杂度为O(2^n)

2：空间复杂度的分析
递归函数在执行时，系统会建立一个“递归工作栈”存储每一层递归所需的信息，此工作栈是递归函数执行的辅助空间，因此，分析递归算法的空间复杂度需要分析工作栈的大小。

对于递归算法，空间复杂度
S(n)=O(f(n))

其中，f(n)为“递归工作栈”中工作记录的个数与问题规模n的函数关系。

由此，前面讨论的阶乘问题、Fibonacci数列问题、Hanoi塔问题的递归算法的空间复杂度为O(n)。

递归转换为非递归

利用栈消除递归过程的步骤：
（1）设置一个工作栈存放递归工作记录（包括实参，返回地址及局部变量等）
（2）进入非递归调用入口（即被调用程序开始处）将调用程序传来的实在参数和返回地址入栈（递归程序不可以作为主程序，因而可认为初始是被某个调用函数调用）
（3）进入递归调用入口：当不满足递归结束条件时，递层递归，将实参、返回地址及局部变量入栈，此过程可用循环语句实现—模拟递归分解的过程
（4）递归结束条件满足，将到达递归出口的给定常数作为当前的函数值
（5）返回处理：在栈不空的情况下，反复退出栈顶记录，根据记录中的返回地址进行题意规定的操作，即逐层计算当前函数值，直至栈空为止—模拟递归求值过程