线性回归
主要内容包括：
1、线性回归的基本要素
2、线性回归模型从零开始的实现
3、线性回归模型使用pytorch的简洁实现
线性回归的基本要素
1、模型
为了简单起见，这里我们假设价格只取决于房屋状况的两个因素，即面积（平方米）和房龄（年）。
2、数据集
我们通常收集一系列的真实数据，例如多栋房屋的真实售出价格和它们对应的面积和房龄。我们希望在这个数据上面寻找模型参数来使模型的预测价格与真实价格的误差最小。在机器学习术语里，该数据集被称为训练数据集（training data set）或训练集（training set），一栋房屋被称为一个样本（sample），其真实售出价格叫作标签（label），用来预测标签的两个因素叫作特征（feature）。特征用来表征样本的特点。
3、损失函数
在模型训练中，我们需要衡量价格预测值与真实值之间的误差。通常我们会选取一个非负数作为误差，且数值越小表示误差越小。一个常用的选择是平方函数。
4、优化函数 - 随机梯度下降
当模型和损失函数形式较为简单时，上面的误差最小化问题的解可以直接用公式表达出来。这类解叫作解析解（analytical solution）。本节使用的线性回归和平方误差刚好属于这个范畴。然而，大多数深度学习模型并没有解析解，只能通过优化算法有限次迭代模型参数来尽可能降低损失函数的值。这类解叫作数值解（numerical solution）。
总结一下，优化函数的有以下两个步骤：
(i)初始化模型参数，一般来说使用随机初始化；
(ii)我们在数据上迭代多次，通过在负梯度方向移动参数来更新每个参数。
5、矢量计算
在模型训练或预测时，我们常常会同时处理多个数据样本并用到矢量计算。
softmax的基本概念
1、分类问题
一个简单的图像分类问题，输入图像的高和宽均为2像素，色彩为灰度。
图像中的4像素分别记为 x1,x2,x3,x4 。
假设真实标签为狗、猫或者鸡，这些标签对应的离散值为 y1,y2,y3 。
我们通常使用离散的数值来表示类别，例如 y1=1,y2=2,y3=3 。
2、权重矢量
o1=x1w11+x2w21+x3w31+x4w41+b1
o2=x1w12+x2w22+x3w32+x4w42+b2
o3=x1w13+x2w23+x3w33+x4w43+b3
3、神经网络图
下图用神经网络图描绘了上面的计算。softmax回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络。由于每个输出 o1,o2,o3 的计算都要依赖于所有的输入 x1,x2,x3,x4 ，softmax回归的输出层也是一个全连接层。
4、输出问题
直接使用输出层的输出有两个问题：
一方面，由于输出层的输出值的范围不确定，我们难以直观上判断这些值的意义。例如，刚才举的例子中的输出值10表示“很置信”图像类别为猫，因为该输出值是其他两类的输出值的100倍。但如果 o1=o3=103 ，那么输出值10却又表示图像类别为猫的概率很低。
另一方面，由于真实标签是离散值，这些离散值与不确定范围的输出值之间的误差难以衡量。
5、计算效率
单样本矢量计算表达式
为了提高计算效率，我们可以将单样本分类通过矢量计算来表达。
6、交叉熵损失函数
对于样本 i ，我们构造向量 y(i)∈Rq ，使其第 y(i) （样本 i 类别的离散数值）个元素为1，其余为0。这样我们的训练目标可以设为使预测概率分布 y^(i) 尽可能接近真实的标签概率分布 y(i) 。
然而，想要预测分类结果正确，我们其实并不需要预测概率完全等于标签概率。例如，在图像分类的例子里，如果 y(i)=3 ，那么我们只需要 y^(i)3 比其他两个预测值 y^(i)1 和 y^(i)2 大就行了。即使 y^(i)3 值为0.6，不管其他两个预测值为多少，类别预测均正确。而平方损失则过于严格，例如 y(i)1=y(i)2=0.2 比 y(i)1=0,y(i)2=0.4 的损失要小很多，虽然两者都有同样正确的分类预测结果。
模型训练和预测
在训练好softmax回归模型后，给定任一样本特征，就可以预测每个输出类别的概率。通常，我们把预测概率最大的类别作为输出类别。如果它与真实类别（标签）一致，说明这次预测是正确的。在3.6节的实验中，我们将使用准确率（accuracy）来评价模型的表现。它等于正确预测数量与总预测数量之比。
获取Fashion-MNIST训练集和读取数据
在介绍softmax回归的实现前我们先引入一个多类图像分类数据集。它将在后面的章节中被多次使用，以方便我们观察比较算法之间在模型精度和计算效率上的区别。图像分类数据集中最常用的是手写数字识别数据集MNIST[1]。但大部分模型在MNIST上的分类精度都超过了95%。为了更直观地观察算法之间的差异，我们将使用一个图像内容更加复杂的数据集Fashion-MNIST[2]。
多层感知机
多层感知机的基本知识
深度学习主要关注多层模型。在这里，我们将以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，介绍多层神经网络的概念。
隐藏层
具体来说，给定一个小批量样本 X∈Rn×d ，其批量大小为 n ，输入个数为 d 。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为 h 。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为 H ，有 H∈Rn×h 。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为 Wh∈Rd×h 和 bh∈R1×h ，输出层的权重和偏差参数分别为 Wo∈Rh×q 和 bo∈R1×q 。
激活函数
上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。
文本预处理
文本是一类序列数据，一篇文章可以看作是字符或单词的序列，本节将介绍文本数据的常见预处理步骤，预处理通常包括四个步骤：
1、读入文本
2、分词
3、建立字典，将每个词映射到一个唯一的索引（index）
4、将文本从词的序列转换为索引的序列，方便输入模型
语言模型
一段自然语言文本可以看作是一个离散时间序列，给定一个长度为 T 的词的序列 w1,w2,…,wT ，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算该序列的概率：
P(w1,w2,…,wT).
语言模型
假设序列 w1,w2,…,wT 中的每个词是依次生成的，我们有
P(w1,w2,…,wT)=∏t=1TP(wt∣w1,…,wt−1)=P(w1)P(w2∣w1)⋯P(wT∣w1w2⋯wT−1)
例如，一段含有4个词的文本序列的概率
P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w1,w2,w3).
语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如， w1 的概率可以计算为：
P^(w1)=n(w1)n
其中 n(w1) 为语料库中以 w1 作为第一个词的文本的数量， n 为语料库中文本的总数量。
类似的，给定 w1 情况下， w2 的条件概率可以计算为：
P^(w2∣w1)=n(w1,w2)n(w1)
其中 n(w1,w2) 为语料库中以 w1 作为第一个词， w2 作为第二个词的文本的数量。
n元语法
序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。 n 元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面 n 个词相关，即 n 阶马尔可夫链（Markov chain of order n ），如果 n=1 ，那么有 P(w3∣w1,w2)=P(w3∣w2) 。基于 n−1 阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为
P(w1,w2,…,wT)=∏t=1TP(wt∣wt−(n−1),…,wt−1).
以上也叫 n 元语法（ n -grams），它是基于 n−1 阶马尔可夫链的概率语言模型。例如，当 n=2 时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为
P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w1,w2,w3)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w2)P(w4∣w3)
当 n 分别为1、2和3时，我们将其分别称作一元语法（unigram）、二元语法（bigram）和三元语法（trigram）。例如，长度为4的序列 w1,w2,w3,w4 在一元语法、二元语法和三元语法中的概率分别为
P(w1,w2,w3,w4)P(w1,w2,w3,w4)P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2)P(w3)P(w4),=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w2)P(w4∣w3),=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w2,w3).
当 n 较小时， n 元语法往往并不准确。例如，在一元语法中，由三个词组成的句子“你走先”和“你先走”的概率是一样的。然而，当 n 较大时， n 元语法需要计算并存储大量的词频和多词相邻频率。
循环神经网络
本节介绍循环神经网络，下图展示了如何基于循环神经网络实现语言模型。我们的目的是基于当前的输入与过去的输入序列，预测序列的下一个字符。循环神经网络引入一个隐藏变量 H ，用 Ht 表示 H 在时间步 t 的值。 Ht 的计算基于 Xt 和 Ht−1 ，可以认为 Ht 记录了到当前字符为止的序列信息，利用 Ht 对序列的下一个字符进行预测。
循环神经网络的构造
我们先看循环神经网络的具体构造。假设 Xt∈Rn×d 是时间步 t 的小批量输入， Ht∈Rn×h 是该时间步的隐藏变量，则：Ht=ϕ(XtWxh+Ht−1Whh+bh).
其中， Wxh∈Rd×h ， Whh∈Rh×h ， bh∈R1×h ， ϕ 函数是非线性激活函数。由于引入了 Ht−1Whh ， Ht 能够捕捉截至当前时间步的序列的历史信息，就像是神经网络当前时间步的状态或记忆一样。由于 Ht 的计算基于 Ht−1 ，上式的计算是循环的，使用循环计算的网络即循环神经网络（recurrent neural network）。
来源：CSDN
作者：weixin_45703411
链接：https://blog.csdn.net/weixin_45703411/article/details/104318524