学习笔记2-多层感知机（multilayer perceptron，MLP）

1、理论基础

1.1 多层感知机的基本公式和原理

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：

$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$
其中 $\phi$ 表示激活函数。

1.2 表达公式

具体来说，给定一个小批量样本 $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$ ，其批量大小为 $n$ ，输入个数为 $d$ 。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为 $h$ 。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为 $\boldsymbol{H}$ ，有 $\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}$ 。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为 $\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}$ 和 $\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}$ ，输出层的权重和偏差参数分别为 $\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}$ 和 $\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}$ 。

我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出 $\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$ 的计算为

$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$

也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到

$\boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o.$

从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为 $\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o$ ，偏差参数为 $\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o$ 。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

1.3 激活函数

1.3.1 激活函数的定义

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。

1.3.2 ReLU函数

ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素 $x$ ，该函数定义为

$\text{ReLU}(x) = \max(x, 0).$
可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换，我们先定义一个绘图函数xyplot。

1.3.3 Relu函数的的python实现

%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel(name + '(x)')

x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

1.3.4 Sigmoid函数

sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：

$\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.$

1.3.5 Sigmoid函数的python实现

y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')

1.3.6 tanh函数

tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：

$\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.$

当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称。

依据链式法则，tanh函数的导数

$\text{tanh}'(x) = 1 - \text{tanh}^2(x).$

当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。

1.3.7 Sigmoid函数的python实现

y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

1.3.7 关于激活函数的选择

ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。

用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。

在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。

在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。

2 多层感知机的python实现

注意：这里的python实现，只写了算法的实现，并不能直接使用。

# 首先导入模块
import torch
import numpy as np
import sys

# 定义模型参数
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_hiddens)), dtype=torch.float)
b1 = torch.zeros(num_hiddens, dtype=torch.float)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_hiddens, num_outputs)), dtype=torch.float)
b2 = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)

params = [W1, b1, W2, b2]
for param in params:
    param.requires_grad_(requires_grad=True)

# 定义激活函数
def relu(X):
    return torch.max(input=X, other=torch.tensor(0.0)

# 定义网络
def net(X):
    X = X.view((-1, num_inputs))
    H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
    return torch.matmul(H, W2) + b2

# 定义损失函数
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()

# 训练
num_epochs, lr = 5, 100.0
def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, params=None, lr=None, optimizer=None):
	for epoch in range(num_epochs):
         train_l_sum, train_acc_sum, n = 0.0, 0.0, 0
         for X, y in train_iter:
             y_hat = net(X)  	# 前向传播
             l = loss(y_hat, y).sum()  	
           
             # 梯度清零
             if optimizer is not None:
                optimizer.zero_grad()
             elif params is not None and params[0].grad is not None:
                 for param in params:
                     param.grad.data.zero_()
           
             l.backward()	 # 反向传播
             if optimizer is None:
                 d2l.sgd(params, lr, batch_size)	# 梯度更新
             else:
                 optimizer.step()  # “softmax回归的简洁实现”一节将用到
                        
             train_l_sum += l.item()
             train_acc_sum += (y_hat.argmax(dim=1) == y).sum().item()
             n += y.shape[0]
         test_acc = evaluate_accuracy(test_iter, net)
         print('epoch %d, loss %.4f, train acc %.3f, test acc %.3f'% (epoch + 1, train_l_sum / n, train_acc_sum / n, test_acc))

# torch中/.item的用法，将一个张量转化为元素。
x = torch.randn(1)
print(x)
print(x.item())

# /.argmax取出a中元素最大值所对应的索引，此时最大值位6，其对应的位置索引值为4，（索引值默认从0开始）
x = torch.randn(4)
print(x, x.argmax())

来源：CSDN

作者：qq_2649825643

链接：https://blog.csdn.net/qq_36016038/article/details/104309769

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