How do we have usable meaning in a computer?

Represents the words as discrete symbols, (离散型变量)

Use the one-hot vector to represent the word in sentence, (Traditional way, we can use Distributional semantics)

Distributional semantics: A word's meaning is giving by words that frequently appear close-by.

when a word w appear in a text, its context words is the set of words that appears nearby. We can use many contexts of w to build up a representation of w.

Word Vector:We build a dense(稠密的) vector for each word, chosen so that it's similar to vector of words that appear in similar contexts, it's a probability vector .

所有的句子都表示 banking的意思。
\[ bank =\left( \begin{array}{r}{0.286} \\ {0.792} \\ {-0.177} \\ {-0.107} \\ {0.109} \\ {-0.549} \\ {0.371}\end{array}\right) \]
单词向量有时候又叫做word embedding 或者 word representation。上面是分布式 distributed representation。不仅仅是一个简单的位置向量，每一个单词都有一个 distributed representation，就构成了向量空间。

Word2vec是一个框架用于学习单词向量。

主要思想：

有一大簇的文本
每一个单词在一个确定的词典中可以用向量表示
Go through文本中的每一个位置，这个文本有一个中心单词 C 以及 context(“outside 单词”) O。我们要观察这个单词周围的单词。
使用单词 C与单词 O的单词向量的相似性来计算给定的 O，是C的概率
调整这个单词向量，直到最大化这个概率

使用中间的单词可以预测出周围的单词

例如对于下面这个例子来说：

我们需要计算的是 $P\left(w_{t+j} | w_{t}\right)$。

我们希望的是通过周围的单词预测出中间的单词 ‘into’ 。所以我们可以改变这些预测，如果我们从贝叶斯的角度看的话，那么就是我们先计算出当遇到 'into' 的时候，周围每个单词的概率作为先验，然后当遇到周围的单词的时候，用后验就可以算出单词是 ‘into’的概率。

对于 Word2vec的目标函数函数

对于文本中的每一个位置，$t=1, \dots, T$来说预测用一个确定大小为 m的窗口预测 context words，对于中心单词 $w_{j}$。目标函数就是
\[ LikeLihhod =L(\theta)=\prod_{t=1}^{T} \prod_{-m \leq j \leq m \atop j \neq 0} P\left(w_{t+j} | w_{t} ; \theta\right) \]
m 表示窗口的大小，$L(\theta)$ 是关于最优化 $\theta$的函数，那么 $J(\theta)$就是 negative log 似然函数。$\theta$ 恰恰就是单词向量
\[ J(\theta)=-\frac{1}{T} \log L(\theta)=-\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \sum_{-m \leq j \leq m \atop j \neq 0} \log P\left(w_{t+j} | w_{t} ; \theta\right) \]
上面的 $J(\theta)$ 是损失函数，也就是目标函数。最小化目标函数等价于最大化预测的准确率。

这个 $\theta$ is actually going to be the vector representation. Use that word to predict what the other words occur

那么问题来了，怎么计算 P函数。

对于每个word，我们有两种表现方法，分别是：

$v_{w}$ when $w$ is a center word
$u_{w}$ when $w$ is a context word

那么对于中心单词 c 于 context word o来说：
\[ P(o | c)=\frac{\exp \left(u_{o}^{T} v_{c}\right)}{\sum_{w \in V} \exp \left(u_{w}^{T} v_{c}\right)} \]
对于前面的例子来说就是：$P\left(u_{\text {problems}} | v_{i n t o}\right)$ short for $\mathrm{P}\left(problems|into; u_{\text {problems}}, v_{i n t o}, \theta\right)$

上面公式的解释，我们使用的是 $u_{o}^{T} v_{c}$来表示权重的大小。也就是两个单词间的关联程度，$u_{o}^{T} v_{c}$越大越相关，（从向量的角度解释）。分母是所有的情况。然后是一个 $Softmax$函数：
\[ \operatorname{softmax}\left(x_{i}\right)=\frac{\exp \left(x_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} \exp \left(x_{j}\right)}=p_{i} \]
这个比较容易理解。这个公式也用于后面的CBOW 以及 skip-gram计算损失函数时候。

梯度下降解最小化损失函数

我们的参数只有一个 $\theta$，但是请记住 $\theta$ 包含中心向量与 context word向量，所以是两截长。这里我们只是用 $\theta$ 来模糊的表示位置参数，那么 $\theta$ 到底是一个什么样的参数呢？在 CBOW 与 skip-gram中可以理解为两个矩阵。这个后面再说。所以用梯度下降求解损失函数也放在后面。
\[ \theta=\left[ \begin{array}{l}{v_{\text {aardvark}}} \\ {v_{a}} \\ {\vdots} \\ {v_{z e b r a}} \\ {u_{\text {aardvark}}} \\ {u_{a}} \\ {\vdots} \\ {u_{z e b r a}}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 d V} \]

基于 SVD的方法获得单词向量

在具体使用word2vec之前，我们先讲一下使用 SVD(奇异值分解)的方法，这个比较简单，但是这个方法十分有用，潜在语义索引(LSI) 就可以使用这种方法。we first loop over(遍历) a massive dataset and accumulate word co-occurrence counts in some form of a matrix X。然后对 X矩阵使用 SVD（奇异值分解），获得 $US V^{T}$。我们使用 U的行向量作为词典中所有单词的单词向量。

Word-Document Matrixs

构造 X的矩阵的方法如下，遍历所有的文件(billions of)，word i 每出现在文档 j 中一次，那么 $X_{i j}$就+ 1. 可以看出 $\left(\mathbb{R}^{|V| \times M}\right)$这个矩阵超级大。

Window based Co-occurrence Matrix

这种方法记录的不是单词与文本之间的联系，而是单词于单词之间，共同出现的情况下的联系：

比如说图中的例子：

Applying SVD to the cooccurrence matrix

对上面的关系矩阵使用 SVD变换，我们的做法就是提取了前 k个特征向量，用来表示单词向量。
\[ \frac{\sum_{i=1}^{k} \sigma_{i}}{\sum_{i=1}^{|V|} \sigma_{i}} \]
下面的图可以看到具体的方法，奇异值分解后得到三个矩阵，对中间的 S矩阵取前 k个对角线的数值。

所以前面的 U矩阵的列向量只有 k个，这样就降低了单词向量的维度。这个方法还面临这许多问题。

基于迭代的方法 - Word2vec

两个算法：CBOW 和 skip-gram

两种训练方法：negative sampling and hierarchical softmax

Language Models

首先需要理解，我们是将一个概率赋给一个序列的单词。从数学上表示，$P\left(w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}\right)$。如果我们假设每个单词的出现是完全独立的，那么：
\[ P\left(w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(w_{i}\right) \]

这个假设显然不合理，因为大多数情况下，句子中，单词间有一定的关系，比如说，‘read’ 后面往往是 ‘book’ 或者是 ‘maganize’ 等。所以我们将这个句子的概率表示成，句子中出现的成对的单词，表示成这个单词与他下一个单词为一对，可以写成这样：
\[ P\left(w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}\right)=\prod_{i=2}^{n} P\left(w_{i} | w_{i-1}\right) \]
以上就是我们表示一个序列的概率的例子。

Continuous Bag of Words Model (CBOW)

通过上下文预测中间单词。

对于词袋模型，我们输入，(上下文的one-hot表示的单词向量)用 $x^{(c)}$来表示。输出用 $y^{(c)}$来表示，我们训练的时候，输出只有一个 $y$ 表示中心词。下面定义未知数：

首先定义两个矩阵：
\[ \mathcal{V} \in \mathbb{R}^{n \times|V|} \text { and } \mathcal{U} \in \mathbb{R}^{|V| \times n} \]

这里面 n 定义了单词向量空间的大小， $\mathcal{V}$是输入矩阵，$\mathcal{V}$ 的第 i 列是对于输入单词 $w_{i}$ 所表示的 n 维向量。我们表示成 $n \times 1$ 向量 $v_{i}$。同理对于输出，$\mathcal{U}$ 是输出矩阵，输出矩阵 $\mathcal{U}$ 的第 j 行是一个 n 维的单词向量作为单词 $w_{i}$ 的输出向量。我们表示成 $u_{j}$。为什么可以这么说呢？从线性代数的角度来说，我们最开始的输入是 one-hot编码的 $x^{(c)}$，我们可以理解为矩阵 $\mathcal{V}$ 对向量 $x^{(c)}$ 的线性变换。 $v_{i}$ 完全由参数 $i$ 与矩阵 $\mathcal{V}$ 决定，所以我们可以直接当成是输入，这里巧妙的就是，我们最后优化的，也是这个 $v_{i}$ 。

下面是具体的步骤，

对于输入大小为 m 的上下文，我们产生一个one-hot 编码为
\[ \left(x^{(c-m)}, \ldots, x^{(c-1)}, x^{(c+1)}, \ldots, x^{(c+m)} \in \mathbb{R}^{|V|}\right) \]
这个上下文的单词向量就是$(v_{c-m}=\mathcal{V} x^{(c-m)}, v_{c-m+1}=\mathcal{V} x^{(c-m+1)}, \ldots, v_{c+m}=\mathcal{V} x^{(c+m)} \in \mathbb{R}^{n} )$
将这些向量求平均值得到：
\[ \hat{v}=\frac{v_{c-m}+v_{c-m+1}+\ldots+v_{c+m}}{2 m} \in \mathbb{R}^{n} \]
产生一个用来表示分数的向量 $z=\mathcal{U} \hat{v} \in \mathbb{R}^{|V|}$，而实际上打分的是矩阵 $\mathcal{U}$ 。由于相似矢量的点积更高，那么我们最大化点积的话，相似的单词就会靠的越近。
将分数通过 softmax函数：$\hat{y}=\operatorname{softmax}(z) \in \mathbb{R}^{|V|}$
我们希望得分最高的是中心词，训练的中心词我们用 $y \in \mathbb{R}|V|$表示，而我们预测的结果用 $\hat{y} \in \mathbb{R}|V|$来表示。

现在我们要得到矩阵 $\mathcal{V}$ 和 $\mathcal{U}$ ，那么我们就要一个目标函数，然后最小化损失函数就可以了。我们使用信息学中的cross-entropy(交叉熵)损失函数，$H(\hat{y}, y)$。从离散的角度，我们可以写成下面的公式，$y$ 向量的每一个位置都要最为离散的偏差算进来。
\[ H(\hat{y}, y)=-\sum_{j=1}^{|V|} y_{j} \log \left(\hat{y}_{j}\right) \]
但是 $y$ 是一个one-hot编码，所以 $H(\hat{y}, y)=-y_{i} \log \left(\hat{y}_{i}\right)$。最理想的情况下 $\hat{y}_{i}$ = 1，与 $y_{i}$ 是相同的。但是预测的会有偏差。如果 $\hat{y}_{i} < 1 $那么 $H(\hat{y}, y)$ > 0。因此最优化，我们写成下式：
\[ 最小化 J = \]

\[ \begin{array}{l}{=-\log P\left(w_{c} | w_{c-m}, \ldots, w_{c-1}, w_{c+1}, \ldots, w_{c+m}\right)} \\ {=-\log P\left(u_{c} | \hat{v}\right)} \\ {=-\log \frac{\exp \left(u_{c}^{T} \hat{v}\right)}{\sum_{j=1}^{|V|} \exp \left(u_{j}^{T} \hat{v}\right)}} \\ {=-u_{c}^{T} \hat{v}+\log \sum_{j=1}^{|V|} \exp \left(u_{j}^{T} \hat{v}\right)}\end{array} \]

然后使用随机梯度下降更新 $u_{c}$ and $v_{j}$。上述式子在理解的过程中，关键的地方是要知道还未经过 $softmax$ 函数的时候，我们用 $u_{c}$来表示 $w_{c}$。而输入使用的是 $\mathcal{V}$ 的列向量表示的，处理之后，用 $\hat{v}$来表示。

Skip-Gram Model

该算法与 CBOW的思路相反。是通过中心词预测上下文的单词向量：我们输入用 $x$ 表示，输出用 $y^{(j)}$ 来表示，我们定义相同的矩阵 $\mathcal{V}$ 和 $\mathcal{U}$ 。该算法也分成六部完成：

中心单词的 one-hot编码，用 $x \in \mathbb{R}^{|V|}$来表示。
我们产生单词向量 $v_{c}=V x \in\mathbb{R}^{n}$。这一步使用了矩阵 $\mathcal{V}$ 。
然后使用 $z=\mathcal{U} v_{c}$ 得到，$z$ 是一个矩阵，用来表示每个预测的 $y$。
然后使用 softmax函数，$\hat{y}=\operatorname{softmax}(z)$。然后假设 $\hat{y}_{c-m}, \dots, \hat{y}_{c-1}, \hat{y}_{c+1}, \dots, \hat{y}_{c+m}$ 是观察到每一个文本向量的概率。
我们希望的是我们产生的概率 $\hat{y}_{c-m}, \dots, \hat{y}_{c-1}, \hat{y}_{c+1}, \dots, \hat{y}_{c+m}$ 与实际的概率 $y^{(c-m)}, \ldots, y^{(c-1)}, y^{(c+1)}, \ldots, y^{(c+m)}$相等。实际的概率就是每一个单词的 one-hot编码。

接下来就是定义目标函数以及最小化损失函数：$J$ =
\[ \begin{aligned} J &=-\sum_{j=0, j \neq m}^{2 m} \log P\left(u_{c-m+j} | v_{c}\right) \\ &=\sum_{j=0, j \neq m}^{2 m} H\left(\hat{y}, y_{c-m+j}\right) \end{aligned} \]

\[ \begin{array}{l}{=-\log P\left(w_{c-m}, \ldots, w_{c-1}, w_{c+1}, \ldots, w_{c+m} | w_{c}\right)} \\ {=-\log \prod_{j=0, j \neq m}^{2 m} P\left(w_{c-m+j} | w_{c}\right)} \\ {=-\log \prod_{j=0, j \neq m}^{2 m} P\left(u_{c-m+j} | v_{c}\right)} \\ {=-\log \prod_{j=0, j \neq m}^{2 m} \frac{\exp \left(u_{c-m+j}^{T} v_{c}\right)}{\sum_{k=1}^{|V|} \exp \left(u_{k}^{T} v_{c}\right)}} \\ {=-\log \prod_{j=0, j \neq m}^{2 m} u_{c-m+j}^{T} v_{c}+2 m \log \sum_{k=1}^{|V|} \exp \left(u_{k}^{T} v_{c}\right)}\end{array} \]

上面的损失函数就比较好理解了。

Negative Sampling

前面计算面临的问题，在 $softmax$ 阶段，计算量与单词向量的长度成 $O(|V|)$关系，而 $softmax$ 计算公式也很复杂
\[ \sigma(\mathbf{z})_{j}=\frac{e^{z_{j}}}{\sum_{k=1}^{K} e^{z_{k}}} \quad \text { for } j=1, \ldots, K \]
所以计算太复杂了，为了简化计算，我们能否不遍历语料库呢？

什么是Negative Sampling(负采样)

对于一个样本，在之前的样本中，我们都是将与正确的结果作为训练结果拿去训练的。对于负采样，在语言模型中，假设中心词为 $w$, 他周围的上下文共有 $2m$ 个单词，记为 $context(w)$ ,那个 $w$ 与 $context(w)$ 的对应就是一个正例，而负例（可以理解为错误的例子）就是我们取 $n$ 个与 $w$ 不同的单词 $w_{i}, i=1,2, \ldots n$, 这些 $w_{i}$ 与 $context(w)$ 就构成了负样本，然后利用分类的思想，这就相当于一个二元分类问题，通过最优化这个分类问题求解模型的参数。

对于一个样本是正样本，我们用逻辑回归的模型计算是正样本的概率，这里我们用 $v_{c}^{T} v_{w}$ 表示的是单词向量 $v_{c}$ 与文本向量 $v_{w}$ 的点积，点积越大，越相关，那么 $P = 1$ 的概率就越大：
\[ P(D=1 | w, c, \theta)=\sigma\left(v_{c}^{T} v_{w}\right)=\frac{1}{1+e^{\left(-v_{c}^{T} v_{w}\right)}} \]

Negative Sampling下的损失函数

假设我们的参数还用 $\theta$ 来表示的话，分别用 $D$ 与 $D'$ 表示正负样本集合
\[ \theta=\underset{\theta}{\operatorname{argmax}} \prod_{(w, c) \in D} P(D=1 | w, c, \theta) \prod_{(w, c) \in D'} P(D=0 | w, c, \theta) \]

\[ =\underset{\theta}{\operatorname{argmax}} \prod_{(w, c) \in D} P(D=1 | w, c, \theta) \prod_{(w, c) \in D'}(1-P(D=1 | w, c, \theta)) \]

\[ \begin{array}{l}{=\underset{\theta}{\operatorname{argmax}} \sum_{(w, c) \in D} \log P(D=1 | w, c, \theta)+\sum_{(w, c) \in D'} \log (1-P(D=1 | w, c, \theta))} \\ {=\underset{\theta}{\operatorname{argmax}} \sum_{(w, c) \in D} \log \frac{1}{1+\exp \left(-u_{w}^{T} v_{c}\right)}+\sum_{(w, c) \in \tilde{D}} \log \left(1-\frac{1}{1+\exp \left(-u_{w}^{T} v_{c}\right)}\right)}\end{array} \\ =\underset{\theta}{\operatorname{argmax}} \sum_{(w, c) \in D} \log \frac{1}{1+\exp \left(-u_{w}^{T} v_{c}\right)}+\sum_{(w, c) \in D'} \log \left(\frac{1}{1+\exp \left(u_{w}^{T} v_{c}\right)}\right) \]

在上面的式子中，我们又将参数 $\theta$ 替换成了矩阵 $\mathcal{V}$ 和 $\mathcal{U}$ 列向量与行向量，分别表示输入与输出。

最大化似然函数，等价于最小化下面的目标函数：
\[ J=-\sum_{(w, c) \in D} \log \frac{1}{1+\exp \left(-u_{w}^{T} v_{c}\right)}-\sum_{(w, c) \in D'} \log \left(\frac{1}{1+\exp \left(u_{w}^{T} v_{c}\right)}\right) \]
那么对于 skip-gram算法来说

对于每一个中心词 C 来说：(这里没有遍历每一个中心词)
\[ J = -\log \sigma\left(u_{c-m+j}^{T} \cdot v_{c}\right)-\sum_{k=1}^{K} \log \sigma\left(-\tilde{u}_{k}^{T} \cdot v_{c}\right) \]
对于CBOW算法，$\hat{v}=\frac{v_{c-m}+v_{c-m+1}+\ldots+v_{c+m}}{2 m}$ 还是用这个公式，所以损失函数就可以写成：
\[ J = -\log \sigma\left(u_{c}^{T} \cdot \hat{v}\right)-\sum_{k=1}^{K} \log \sigma\left(-\tilde{u}_{k}^{T} \cdot \hat{v}\right) \]

Hierarchical Softmax

分层 $Softmax$ 在用于非连续的单词向量的时候，表现比较好。而负采样用于连续的单词向量的时候表现比较好。分层 $Softmax$ 使用的是哈夫曼树。

我们使用叶子结点代表每一个单词，单词的概率定位为从根节点随机走到该节点的概率。由于是二叉树，我们结算复杂度为 $O(\log (|V|))$。这样就降低了模型的复杂度，而我们要学习的参数，就是除了叶节点之外的权重。我们用 $L(w)$ 表示从根结点到叶结点的长度，比如图中的 $L(w2)$ = 3. 而我们用 $n(w, i)$ 表示路径上的第 $i$ 个结点，对应于向量中的参数就是 $v_{n(w, i)}$。对于结点 $n$ 我们用 $\operatorname{ch}(n)$ 表示 $n$ 的孩子结点，那么叶结点是 $w$的概率就是：
\[ P\left(w | w_{i}\right)=\prod_{j=1}^{L(w)-1} \sigma\left([n(w, j+1)=\operatorname{ch}(n(w, j))] \cdot v_{n(w, j)}^{T} v_{w_{i}}\right) \]
其中
\[ [x]=\left\{\begin{array}{l}{1 \text { if } x \text { is true }} \\ {-1 \text { otherwise }}\end{array}\right. \]
上面的式子，对于某个结点 $i$ ,如果 $n(w, i+1)$ 就是 $n(w, i)$ 的孩子的节点的的话，那么 $[x] = 1$，否则 $[x] = -1$ ,这里的 +1 或者 -1 仅仅是用来表示叶结点的方向。对于上图中的例子来说就是：
\[ \begin{aligned} P\left(w_{2} | w_{i}\right) &=p\left(n\left(w_{2}, 1\right), \text { left }\right) \cdot p\left(n\left(w_{2}, 2\right), \text { left }\right) \cdot p\left(n\left(w_{2}, 3\right), \text { right) }\right.\\ &=\sigma\left(v_{n\left(w_{2}, 1\right)}^{T} v_{w_{i}}\right) \cdot \sigma\left(v_{n\left(w_{2}, 2\right)}^{T} v_{w_{i}}\right) \cdot \sigma\left(-v_{n\left(w_{2}, 3\right)}^{T} v_{w_{i}}\right) \end{aligned} \]
而且我们可以保证：
\[ \sum_{w=1}^{|V|} P\left(w | w_{i}\right)=1 \]
可以看出，对于每一次更新语料库，不需要重新计算全部，而是计算，新的 word 对应的 Path 中的参数就可以了。