2．Hankson的趣味题

(son.pas/c/cpp)

【问题描述】

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的大公约数和小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足：

1． x 和 a0 的大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

【输入】

输入文件名为 son.in。第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

【输出】输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；【输入输出样例】

son.in

son.out

41 1 96 288

95 1 37 1776

【说明】第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

【思路】

唯一分解+乘法原理。

根据题目有如下式子：

gcd(x,a0)=a1;

lcm(x,b0)=b1;

对于一个质数，将a0,a1,b0,b1分解质因数，设分解后质数分别为c0,c1,c2,c3；

如果c0==c1 c2==c3

如果c0<=c2 则对于x该质因子指数有(c2-c0+1)个选择。

否则c0>c2 无解。

否则如果 (c0!=c1)&&(c2!=c3)&&(c1!=c3) 无解

否则如果 (c0!=c1)&&(c2!=c3)&&(c1==c3) 指数只有一个选择。

需要注意的最后可能剩下的大质数

【代码】

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<vector>
 4 #include<cmath>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int maxn = 60000+20;
 8 
 9 int a0,a1,b0,b1,ans;
10 vector<int> primes;
11 
12 bool su[maxn];
13 void get_primes() {
14     int m=50010;
15     int m2=sqrt(m);
16     for(int i=2;i<=m;i++) if(!su[i]) {
17         primes.push_back(i);
18         if(i<=m2)for(int j=i*i;j<=m;j+=i) su[j]=1;
19     }
20 }
21 
22 void solve(int x) {
23     int c0=0,c1=0,c2=0,c3=0;
24     while(a0%x==0) { c0++; a0/=x; }
25     while(a1%x==0) { c1++; a1/=x; }
26     while(b0%x==0) { c2++; b0/=x; }
27     while(b1%x==0) { c3++; b1/=x; }
28     if((c0==c1)&&(c2==c3)) {
29         if(c1<=c3) ans*=c3-c1+1;
30         else ans=0;
31     }
32     else if((c0!=c1)&&(c2!=c3)&&(c1!=c3)) ans=0;
33     else if((c0!=c1)&&(c2!=c3)&&(c1==c3)) ans*=1;
34 }
35 
36 int main() {
37     get_primes();
38     int T;
39     scanf("%d",&T);
40     while(T--)
41     {
42         scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
43         ans=1;
44         for(int i=0;i<primes.size();i++) solve(primes[i]);
45         int t=a0;
46         t=max(t,a1);
47         t=max(t,b0);
48         t=max(t,b1);
49         if(t>1) solve(t);
50         printf("%d\n",ans);
51     }
52     return 0;
53 }

来源：https://www.cnblogs.com/lidaxin/p/4859403.html

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