蓝桥杯：乘积最大II 动态规划解法

因为数据不大，存在【暴力解法】

问题描述

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串：312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：

3 * 12=36
31 * 2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式

程序的输入共有两行：
第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
第二行是一个长度为N的数字串。

输出格式

输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

样例输入

4 2
1231

样例输出

62

思路

问题：
求解在前i个数字中插入j个乘号得到的乘积最大值

状态定义：

// dp[i][j]表示在前i个数字中插入j个乘号得到的乘积最大值 
int dp[][];

状态转移：
在前i个数中插入j个乘号，问题转换为：

在前k（下标[1, k]）个数中插入j-1个乘号 (保证乘号能够插入，k的范围：j<=k<i)
再将第j个乘号插入到第k个数字后面
结果就是【在前k个数字中插入j-1个乘号的乘积最大值】*【第k个数之后的数表示的数字】
取遍所有的k，找出最大的值

即：先找一个位置x，安排第j个乘号，再在该位置之前安排j-1个乘号，找遍所有可能的x，找到最大的结果

状态转移方程：

for k 范围 (j, i-1)
{
	dp[i][j] = dp[k][j-1] * sum[k+1, i];
}

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

#define MAXLEN 49
#define MAXK 9
#define char2int(c) ((int)(c - '0'))
// dp[i][j]表示在前i个数字中插入j个乘号得到的乘积最大值 
int dp[MAXLEN][MAXK];
int a[MAXLEN];
int n, k;

// 计算区间l,r表示的数字 
int sum(int l, int r)
{
	int s = 0;
	for(int i=l; i<=r; i++)
	{
		s *= 10;
		s += a[i];
	}
	return s;
}

int main()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		char c;
		cin>>c;
		a[i] = char2int(c);
	}
	
	for(int i=0; i<=n; i++)
	{
		for(int j=0; j<=k; j++)
		{
			dp[i][j] = 0;
		}
	}
	
	// 前i个长度，插入0个乘号，最大值为他们表示的数 
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		dp[i][0] = sum(1, i);
	}
	
	// dp 
	for(int i=2; i<=n; i++)
	{
		for(int j=1; j<i; j++)
		{
			int mmax = 0;
			// 因为要插入j-1个乘号到前面，前面必须至少有j个数字 
			// 因为要插入一个乘号，后面必须至少有一个数字
			// 故确定k的范围 
			for(int k=j; k<i; k++)
			{
				// 插入j-1个乘号到前k个数字的结果 * 后面表示的数
				int res = dp[k][j-1] * sum(k+1, i);
				if(res > mmax)
				{
					mmax = res;
				}
			}
			dp[i][j] = mmax;
		}
	}
	
	cout<<dp[n][k]<<endl;
	
	return 0;
}

来源：CSDN

作者：AkagiSenpai

链接：https://blog.csdn.net/weixin_44176696/article/details/104267729

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