大家的数学启蒙都是从哪儿开始的呢？大概都是从1,2,3开始的吧。有了数字作为基础，才会陆陆续续学会了公式，然后就真的开始学习了数学。直到后来，我们的数学能力发展一定程度之后，就发现，其实数学里的数字只有1,2,3是不够用的。于是出现了小数，分数，其中关于分数的研究，中国古人开创了先河，大约比欧洲早了1400多年。
数学都是从数字开始有了分数之后，我们觉得还是不够用，为什么呢？有些数量的表示你用整数，分数，小数都不行。于是乎，必须要出现一种全新的数来满足人们的需要。然后经过一个特殊的时机，无理数就出现了。事实上，无理数从发现，到被承认真是一场没有硝烟的战争啊。
一场没有硝烟的战争
让我们从公元前580年的古希腊说起，当时的古希腊有一个名叫做毕达哥拉斯的大神，相信提到这个名字，很多同学们对这个名字实在是太熟悉了。禁不住大声说出不就是那个毕达哥拉斯定理（其实就是我们国家的勾股定理）的毕达哥拉斯嘛，其实这只是他众多研究中微不足道的一个，而且并不是他提出的，而是他给出的证明。
毕达哥拉斯毕达哥拉斯是当时有名的数学家，科学家及哲学家，以他当时的名气组成了一个毕达哥拉斯团体，这个团体在现在来说像是个研究机构。而毕达哥拉斯是这个团体的领头人，他们认为“数”是万物的本源，这里的数是指整数、分数。因此世间一切事物都可以是数和数的比例，这更像是一个哲学观点。自然，只有那些整数或者分数符合这样的要求。为了自己理论的不受动摇，毕达哥拉斯认为世间再无其他数。
毕达哥拉斯学派一视同仁传授知识然而，毕达哥拉斯的一个不太听话的学生，名叫希帕索斯。他在研究1与2的比例中项时发现，没有一个能用整数比例写成的数可以表示成这个比例中项。如果设这个数为x，由1：x=x：2，得出x2=2。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，根据毕达哥拉斯定理的出：x2=12+12,可以得出边长为1的正方形的对角线的长度即为x的值。很显然，这个值是存在的，我们可以在数轴上表示你出来。可是，希帕索斯百思不得其解，不知道该怎么表示这个“新数”。
这个“新数”出现，动摇了以毕达哥拉斯学派的固有观点，但是信徒们认为毕老师辛苦建造“万物皆为数”的大厦不可能就此坍塌，于是毕老师下令严格封锁这个消息。其实我们仔细想想，毕达哥拉斯亲自动手证明了勾股定理，难道他没有考虑过这个问题吗？也许他早就知道有这类数的存在。只是当时他被自己的信仰蒙蔽了双眼，即使内心有怀疑，也不想去违背这种纯粹的理念。这种情况，我们现在一般称作愚昧。如此一来，发现者希帕索斯可就遭殃了。
但是希帕索斯可不是一个只知道提出质疑的书呆子，他发现苗头不对，于是，迅速选择跑路。就这样，他被迫流浪海外，但是希帕索斯终究抵不过思乡之苦，偷偷跑回来希腊看望家人，这一次他还是没有逃脱他老师的手心，再被抓获后被投入地中海而溺亡。
数为最高信仰的毕达哥拉斯但是希帕索斯虽然因无理数的发现而身亡，但是真理会迟到，但是永远不会缺席。
随着数学理论的完善，拥有现代数学常识的人们可以用一种非常简单的方式来证明根号2不是有理数，思路也相当简单明了。
根号2不是有理数的证明旷日持久的第一次数学危机
毕达哥拉斯学派在数学上的保守态度与西帕索斯的根号2的发现，直接导致第一次数学危机。随着时间的推移，无理数逐渐成为人所共知的事实。当时的人们在越来越多的例子中发现了无理数的踪影。真相就是你越想着躲避，那就会越来越多地出现在你面前。
第一个承认无理数的尤得塞斯后来，古希腊数学家尤得塞斯（Eudoxus）解决了无理数的问题，因为毕达哥拉斯学派对数的影响实在太为深远。尤得塞斯为了避开毕氏学派，可以说是想尽方法遮遮掩掩，唯恐与毕老师针锋相对。起初他使用量的概念来描述无理数，能代表生活中诸如线段、角、面积、体积、时间等等这些能作连续变化的东西。其次，尤得塞斯定义量的比及比例，这种比例是两个比的一个等式。然而同样地，也不使用数字来表示这种比，比和比例的观念是紧密地与几何（可以想象为直线的长度）连在一起。
最早的几何学大师 欧几里得古希腊数学家欧几里得的《几何原本》第五卷第五条定义收录了尤得塞斯的通过几何的方式对这种量的（无理数）的解释：“有四个量，第一量比第二量与第三量比第四量叫做有相同比，如果对第一个量取任何同倍数，又对第二量也第四个量取任何同倍数，而第一与第二倍量之间依次有大于、等于、小于的关系，那么第三、第四倍量也有相同的关系。”
说起来有点绕口，还是用现在的数学语言描述一下吧。
欧几里得对于无理数的表示方法虽然大家都默认了无理数的存在，但是，关于无理数的研究和讨论却一直持续了此后的2000多年。到19世纪，德国伟大的数学家戴德金，给出了无理数较为系统的定义，从而终结了由无理数引起的第一次数学危机。
数学家 戴德金戴德金通过他一个著名的理论戴德金分割系统的定义了无理数。在数学方面，戴德金分割（cut切割），以德国数学家Richard Dedekind命名， Dedekind cut是通过有理数的分割，一刀两断，理解戴德金分割可能需要借助一个数轴。分为两个非空集A和B，在数轴上分三种情况：
戴德金切割我们来解释一下上述方法。
戴德金分割定义其中在第三种情况下，没有界数存在，所以并不定义任何有理数。此时就产生了一个“新数”，而这个新数就是无理数，这种无理数切割处就等同于无理数。戴德金用上面这个简单的方式，严谨地给出了无理数存在于有理数之外的定义，也就是说戴德金从有理数出发，给出无理数。至此，无理数终于没有任何疑问地留在数学大厦中了。
无理数终于尘埃落定时至今日，无理数已经成为一种数学常识，同整数一样，当然也是无穷个。无理数里最著名的要数π和e了，π是圆周率，我国古代数学家祖冲之曾经将圆周率计算到小数点7位；e为自然常数，也称之为欧拉数，是微积分领域中最重要的数字，没有之一；黄金分割φ也是无理数，深深地揭示了自然界很多美妙出现的根本原因。总之，无理数的发现和应用深深地影响到了从古至今的所有人。
割圆术和圆周率毕达哥拉斯学派在科学上的影响力，的确使得希腊的确成为了人类古文明的中心。同时也正因为毕老师的学派如此有名，导致很多研究者对于毕老师的敬畏远远大于对科学的敬畏。比如第一个试图从理论上证明无理数的尤得塞斯，他天才般地或者说是被逼无奈地想到用几何学来解释无理数，这招感觉不错之后，又有更多的人来效仿。几何学的解释既形象，也容易理解，并且不带有那么多哲学理念，在几何学里，我们只谈论逻辑推理，甚至到后来，人们为了逻辑推理训练，专门来学几何学。所以，伟大的欧几里得和他的《几何原本》诞生了。那么多杰出人才都扑在几何学上，又使得古希腊在几何学上的研究，领先了将近两千年。
几何原本封面人们都说，数学是所有自然学科的基础，而关于数却一直在发展，从无到零的出现，从整数到负数，从有理数到无理数，从实数到虚数，从复数到汉密尔顿的四元数。新事物的诞生都伴随着巨大的阻力，有的可能会有付出生命的代价，数的发展也同样如此。但不可否认的是，每一次对数域的扩充，都让人们更加接近数学的本质，了解数学也就是了解了我们身边的世界。
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