(updating)[学习笔记]概率与期望进阶

组合数学，概率与期望，数论 大概是我学的最差的几个板块吧…

Part 1 高斯消元

1.1 概述

最常见的当然是随机游走问题了…

• $f_u=\sum p_{u,v}* (f_{v}+w_{u,v})$
• 计算期望在这个节点上，停留多少步:$f_u=\sum p_{v,u}* f_v + [u=S]$

HNOI 2013 游走

SDOI 2012 走迷宫

1.2 Band Matrix

带宽:对于$\forall (i,j)\in G,a_{i,j}=1 存在一个x,(x,x)\in G且|i-x|+|j-x|\leq d$，当$d$取到最小时就为Band Matrix的带宽。
https://blog.csdn.net/qq_39972971/article/details/80725873

CF ??? E

1.3 主元法(代入消元法)

主要用于网格图

1.4 概率生成函数

这东西好神奇啊…
$E(z^x)=F(z)=\sum_{i=0}^{∞}p_{i}z^i$
我们知道:
$E(x)=\sum_{i=0}^{∞}i\times p_{i}$
$F'(x)=\sum_{i=0}^{∞}i\times p_{i}z^{i-1}$
于是有$E(x)=F'(1)$。
接下来是
$Var(X)=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E^2[X]$(我也不知道怎么来的)
我们又知道
$F''(x)=\sum_{i=0}^{∞}i(i-1)\times p_{i}z^{i-2}=\sum_{i=0}^{∞}(i^2-i)\times p_{i}z^{i-2}$
于是就可以凑出来:
$Var(X)=F''(1)+F'(1)-(F'(1))^2$

Part 2 期望线性性

Warm up 1

i-4.Max of $N$ You roll a 6-sided die N times. Find EV of the biggest score.
A few possible solutions.
求在[1,m]离散变量中等概率随机$n$次最大值期望

$E(X)=(1+m)\frac{n}{n+1}$
sol:
$\begin{aligned} E(X)&=\frac{\sum^{n}_{i=1}\binom{i-1}{n-1}}{\binom{m}{n}}\\ &=n\frac{\binom{m+1}{n+1}}{\binom{m}{n}}\\ &=(m+1)\frac{n}{n+1}\\ \end{aligned}$

ii-4.Math encoder (Code Jam Kickstart 2017 round B) You are given a sequence of $N$ numbers ($N ≤ 2000$ or $N ≤ 10^5$). We’re to choose one of $2^N - 1$ non-empty subsets, uniformly at random. Find EV of the difference between the maximum and minimum element in the subset.
Equivalently: Find the sum over the difference over all subsets, and print the answer modulo $10^9 + 7$.
从一个集合里面等概率选出一个非空子集，问$E[MAX-MIN]$。

sol:
根据期望的线性性再分别求解即可
$\begin{aligned} E(MAX-MIN)&=E(MAX)-E(MIN)\\ &=\frac{\sum^{n}_{i=1}a_i\times 2^{i-1}}{2^n-1}-\frac{\sum^{n}_{i=1}a_i\times 2^{n-i}}{2^n-1}\\ \end{aligned}$

6.Randomizer (CF 313 D) You’re given a convex polygon with N vertices ($N ≤ 2000$ or $N ≤ 10^5$). We choose a random subset of vertices, what gives us a new (small) convex polygon. Find EV of the perimeter of the new polygon.
Well, the CF problem was a bit harder, with computing area and using Pick’s theorem.
给你个多边形，随机选一个子集，求组成新的多边形的期望周长

sol:$O(n^2)$
枚举一条边$(i,j)$，计算它在多边形上出现的概率乘权值即可:
$\sum_{i}\sum_{j}len\times (\frac{1}{2})^2\times (\frac{1}{2})^{j-i-1}$
$O(n)$
原题求内部整点个数:
根据Pick定理:S(网格图面积)=X(内部整点个数)+$\frac{b}{2}$(边上整点个数/2)-1
$E[X]=E[S]-\frac{E[b]}{2}+1$
于是成了求面积和边上整点期望。
面积我们使用叉积表示就好了。
因为输出double…因此太远的由于精度可以直接忽略…

8.Eating ends You’re given a sequence of length N ($N ≤ 2000$ or $N ≤ 10^5$). $N - 1$ times we will remove the first or the last element, each with $p$-bility $50\%$. Find EV of the last remaining number.
Well, the implementation is hard because of precision issues.
给你一个长度为$n$的队列，每次等概率删除队头或队尾，问剩余的数的期望。

sol:
$E[X]=\frac{\sum^{n}_{i=1}a_i\times \binom{i-1}{n-1}}{2^{n-1}}$

CF 280C

• 给出一棵含n个白点的有根树，每次随机选择一个还没有被染黑的节点吗，将这个节点和这个节点子树中的所有点染黑。
• 问期望操作多少次后所有点都被染黑。

$E[X]=\sum^{n}_{i=1}\frac{1}{dep_i}$

CF1153F

• 给一个长度为$l$的线段，随机选了$n$条子线段，求至少被覆盖了k次的期望长度。
• $n\leq 2000$

使用微元法，然后再用定积分积起来…
$E[X]=\sum_{m\leq k}\int_0^1 \binom{n}{k}(2x\times (1-x))^k\times (1-2x\times (1-x))^{n-k} \mathrm{d}x$

多项式积分:$\int_0^1 x^n=\frac{1}{n+1}$

于是我们将多项式暴力展开后积分…这东西可以用dp实现…
它还可以优化到$O(n\log n)$

CF 235 D

好神仙的思路…
分治FFT优化:CCPC-Wannafly Winter Camp Day2 A.Erase Nodes(不可能是有生之年系列)

CF 457 D

做过的题.

random

• 有个长度为n的排列，每次随机选择一对相邻逆序对，然后交换，代价是下标，问期望代价。

GU

CTSC2013 没头脑与不高兴

为什么要拿和我同类的人来当主人公呢

• 随机一个排列，指定若干个位置会排好序。问逆序对个数的期望。
• 每次会选择覆盖一个区间作为排好序的位置或者取消一段区间。

Projecteuler 584

没听懂

Projecteuler 522

2.2 期望的平方/方差

Warm up 2

时间太紧，真没法听了

来源：CSDN

作者：C20190406Panda_hu

链接：https://blog.csdn.net/qq_34940287/article/details/104219723