P1020 导弹拦截

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题目提供者 CCF_NOI

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题目描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是 $\le 50000≤50000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。$

输入格式

$\le 100000≤100000）$

输出格式

输入输出样例

输入 #1

389 207 155 300 299 170 158 65

输出 #1

6
2

说明/提示

为了让大家更好地测试n方算法，本题开启spj，n方100分，nlogn200分

每点两问，按问给分

思路

　　　对于第一问，显然是让我们求一个最长不上升子序列。

　　如何O(nlogn)来求LCS：建立一个数组来模拟单调栈，存储一个不上升序列，依次将导弹高度插进去，如果当前导弹等于或者低于栈顶的导弹高度，显然可以直接加进去；不然，如果当前导弹高于栈顶的导弹高度，就可以使用c++内置函数upperbound来在数组中寻找一个能把当前导弹塞进去的位置。

int p = upper_bound(d + 1, d + 1 + len, a[i], greater <int> () ) - d;

d[p] = a[i];

　　 如此一来，数组的size就是我们的答案了。

　　对于第二问，是要把整个数组划分为n个不重复的不上升子序列，可以转化为求一个LIS，证明如下：

（1）假设打导弹的方法是这样的：取任意一个导弹，从这个导弹开始将能打的导弹全部打完。而这些导弹全部记为为同一组，再在没打下来的导弹中任选一个重复上述步骤，直到打完所有导弹。

（2）假设我们得到了最小划分的K组导弹，从第a(1<=a<=K)组导弹中任取一个导弹，必定可以从a+1组中找到一个导弹的高度比这个导弹高（因为假如找不到，那么它就是比a+1组中任意一个导更高，在打第a组时应该会把a+1组所有导弹一起打下而不是另归为第a+1组），同样从a+1组到a+2组也是如此。那么就可以从前往后在每一组导弹中找一个更高的连起来，连成一条上升子序列，其长度即为K;

（3）设最长上升子序列长度为P，则有K<=P;又因为最长上升子序列中任意两个不在同一组内(否则不满足单调不升)，则有P>=K，所以K=P。

CODE

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define dbg(x) cout << #x << "=" << x << endl
 3 
 4 using namespace std;
 5 typedef long long LL;
 6 
 7 template<class T>inline void read(T &res)
 8 {
 9     char c;T flag=1;
10     while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;res=c-'0';
11     while((c=getchar())>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0';res*=flag;
12 }
13 
14 namespace _buff {
15     const size_t BUFF = 1 << 19;
16     char ibuf[BUFF], *ib = ibuf, *ie = ibuf;
17     char getc() {
18         if (ib == ie) {
19             ib = ibuf;
20             ie = ibuf + fread(ibuf, 1, BUFF, stdin);
21         }
22         return ib == ie ? -1 : *ib++;
23     }
24 }
25 
26 int qread() {
27     using namespace _buff;
28     int ret = 0;
29     bool pos = true;
30     char c = getc();
31     for (; (c < '0' || c > '9') && c != '-'; c = getc()) {
32         assert(~c);
33     }
34     if (c == '-') {
35         pos = false;
36         c = getc();
37     }
38     for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getc()) {
39         ret = (ret << 3) + (ret << 1) + (c ^ 48);
40     }
41     return pos ? ret : -ret;
42 }
43 
44 const int kmaxn = 1007;
45 LL f[kmaxn][kmaxn];
46 const LL mod = 1e9 + 7;
47 int n;
48 LL p[kmaxn];
49 
50 int main()
51 {
52     scanf("%d",&n);
53     for(int i = 1; i <= n; ++i) {
54         scanf("%lld",&p[i]);
55     }
56     f[0][0] = 1;
57     for(int i = 1; i <= n; ++i) {
58         f[i][0] = f[i-1][0] * (mod+1-p[i]) % mod;
59         for(int j = 1; j <= n; ++j) {
60             f[i][j] = ((f[i-1][j]*(i-p[i]+mod)) % mod + f[i-1][j-1]*(mod+p[i]) % mod)% mod;
61         }
62     }
63     for(int i = 0; i < n; ++i) {
64         printf("%lld ",f[n][i]);
65     }
66     printf("%lld\n",f[n][n]);
67     return 0;
68 }

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来源：https://www.cnblogs.com/orangeko/p/12273965.html

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