第六章 定积分的应用

半世苍凉 提交于 2020-02-03 21:36:25

本章中我们将应用前面学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立计算这些几何、物理量的公式,更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法。——高等数学同济版

习题6-1 定积分的元素法

在定积分的应用中,经常采用所谓元素法。——高等数学同济版

  本节主要介绍定积分的元素法。

习题6-2 定积分在几何学上的应用

  本节主要介绍将定积分应用于解析几何。

6.求由摆线x=a(tsint),y=a(1cost)x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)的一拱(0t2π)(0\leqslant t\leqslant2\pi)与横轴所围成的图形的面积。

  以xx为积分变量,则xx的变化范围为[0,2πa][0,2\pi a],设摆线上的点为(x,y)(x,y),则所求面积为
A=02πaydx. A=\displaystyle\int^{2\pi a}_0y\mathrm{d}x.
  再根据参数方程换元,令x=a(tsint)x=a(t-\sin t),则y=a(1cost)y=a(1-\cos t),因此有
A=02πa2(1cost)2dt=a202π(12cost+cos2t)dt=4a20π2(1+cos2t)dt=3πa2. \begin{aligned} A&=\displaystyle\int^{2\pi}_0a^2(1-\cos t)^2\mathrm{d}t=a^2\displaystyle\int^{2\pi}_0(1-2\cos t+\cos^2t)\mathrm{d}t\\ &=4a^2\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0(1+\cos^2t)\mathrm{d}t=3\pi a^2. \end{aligned}
这道题展示了参数方程求平面面积的方法

8.求下列各曲线所围成图形的公共部分:

(1)ρ=3cosθ\rho=3\cos\thetaρ=1+cosθ\rho=1+\cos\theta

  首先求出两曲线交点为(32,π3)\left(\cfrac{3}{2},\cfrac{\pi}{3}\right)(32,π3)\left(\cfrac{3}{2},-\cfrac{\pi}{3}\right),由于图形关于极轴的对称性(如下图),因此所求面积为极轴上面部分的两倍,即得
A=2[0π312(1+cosθ)2dθ+π3π212(3cosθ)2dθ]=5π4. A=2\left[\displaystyle\int^{\frac{\pi}{3}}_0\cfrac{1}{2}(1+\cos\theta)^2\mathrm{d}\theta+\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}}\cfrac{1}{2}(3\cos\theta)^2\mathrm{d}\theta\right]=\cfrac{5\pi}{4}.

在这里插入图片描述

这道题主要考察对于图像图形的理解

(2)ρ=2sinθ\rho=\sqrt{2}\sin\thetaρ2=cos2θ\rho^2=\cos2\theta

  首先求出两曲线交点为(22,π6)\left(\cfrac{\sqrt{2}}{2},\cfrac{\pi}{6}\right)(22,5π6)\left(\cfrac{\sqrt{2}}{2},\cfrac{5\pi}{6}\right),由于图形的对称性(如下图),因此有
A=2[0π612(2sinθ)2dθ+π6π412cosθdθ]=π6+132. A=2\left[\displaystyle\int^{\frac{\pi}{6}}_0\cfrac{1}{2}(\sqrt{2}\sin\theta)^2\mathrm{d}\theta+\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}\cfrac{1}{2}\cos\theta\mathrm{d}\theta\right]=\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{1-\sqrt{3}}{2}.

在这里插入图片描述

这道题主要考察图像的对称性

27.在摆线x=a(tsint),y=a(1cost)x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)上分别求分摆线第一拱成1:31:3的点的坐标。

  对应于摆线第一拱的参数tt的范围为[0,2π][0,2\pi],参数tt在范围[0,t0][0,t_0]时摆线的长度为
s0=0t0a2(1cost)2+a2sin2tdt=a0t02sint2dt=4a(1cost02). \begin{aligned} s_0&=\displaystyle\int^{t_0}_0\sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t}\mathrm{d}t=a\displaystyle\int^{t_0}_02\sin\cfrac{t}{2}\mathrm{d}t\\ &=4a\left(1-\cos\cfrac{t_0}{2}\right). \end{aligned}
  当t0=2πt_0=2\pi时,长度为8a8a,故所求点对应的参数t0t_0满足4a(1cost02)=2a4a\left(1-\cos\cfrac{t_0}{2}\right)=2a,解得t0=2π3t_0=\cfrac{2\pi}{3},从而得到点的坐标为((2π332)a,3a2)\left(\left(\cfrac{2\pi}{3}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)a,\cfrac{3a}{2}\right)。(这道题在确定总长度容易出错

习题6-3 定积分在物理学上的应用

  本节主要介绍了定积分在物理学尤其是动力学、压力和引力上的应用。

总习题六

4.求由曲线ρ=asinθ\rho=a\sin\thetaρ=a(sinθ+cosθ)\rho=a(\sin\theta+\cos\theta)所围成的公共图形的面积。

  首先求出两曲线的交点,联立方程{ρ=asinθ,ρ=a(sinθ+cosθ),\begin{cases}\rho=a\sin\theta,\\\rho=a(\sin\theta+\cos\theta),\end{cases}解得交点坐标为(a,π2)\left(a,\cfrac{\pi}{2}\right),注意到当θ=0\theta=0时,ρ=asinθ=0\rho=a\sin\theta=0,当θ=3π4\theta=\cfrac{3\pi}{4}时,ρ=a(sinθ+cosθ)=0\rho=a(\sin\theta+\cos\theta)=0,故两曲线分别过(0,0)(0,0)(0,3π4)\left(0,\cfrac{3\pi}{4}\right),即都过极点(如下图),因此所求面积为
A=π23π412[a(sinθ+cosθ)]2dθ+12π(a2)2=a22π23π4(1+sin2θ)dθ+πa28=a24(π1). \begin{aligned} A&=\displaystyle\int^{\frac{3\pi}{4}}_{\frac{\pi}{2}}\cfrac{1}{2}[a(\sin\theta+\cos\theta)]^2\mathrm{d}\theta+\cfrac{1}{2}\pi\left(\cfrac{a}{2}\right)^2\\ &=\cfrac{a^2}{2}\displaystyle\int^{\frac{3\pi}{4}}_{\frac{\pi}{2}}(1+\sin2\theta)\mathrm{d}\theta+\cfrac{\pi a^2}{8}\\ &=\cfrac{a^2}{4}(\pi-1). \end{aligned}

在这里插入图片描述
这道题先求解交点,画出大概的图形,再计算面积

5.如下图所示,从下到上依次有三条曲线:y=x2,y=2x2y=x^2,y=2x^2CC,假设对曲线y=2x2y=2x^2上任一点PP,所对应的面积AABB恒相等,求曲线CC的方程。

  设曲线CC的方程为x=f(y)x=f(y)PP点坐标为(y2,y)\left(\sqrt{\cfrac{y}{2}},y\right),则
A=0y[y2f(y)]dy,B=0y2(2x2x2)dx. A=\displaystyle\int^y_0\left[\sqrt{\cfrac{y}{2}}-f(y)\right]\mathrm{d}y,\qquad B=\displaystyle\int^{\frac{y}{2}}_0(2x^2-x^2)\mathrm{d}x.
  根据条件,对任意y0y\geqslant0都有
0y[y2f(y)]dy=0y2(2x2x2)dx. \displaystyle\int^y_0\left[\sqrt{\cfrac{y}{2}}-f(y)\right]\mathrm{d}y=\displaystyle\int^{\frac{y}{2}}_0(2x^2-x^2)\mathrm{d}x.
  上式对yy求导,得
y2f(y)=y2122y. \sqrt{\cfrac{y}{2}}-f(y)=\cfrac{y}{2}\cdot\cfrac{1}{2\sqrt{2y}}.
  因此
f(y)=32y8. f(y)=\cfrac{3\sqrt{2y}}{8}.
  即曲线为x=32y8x=\cfrac{3\sqrt{2y}}{8}y=329x2.y=\cfrac{32}{9}x^2.

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这道题主要利用积分再求导简化计算

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  另,基本初等函数图形及常用曲线的图像见附录二

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