Noise2Noise: Learning Image Restoration without Clean Data

Intro

本文亮点是输入图像和target图像都是有噪声的图像，而不是clean的图像，网络可以利用有噪声的图像学习到将有噪声的图像转化为无噪声的clean图像。文章解释了在使用l2 loss时，网络对于一对多的映射关系学习到的是映射值的均值，基于此idea，将clean的图像加上0均值的噪声作为target，数据量足够多时，网络就能学习到预测clean图；作者也探究了使用l1 loss的影响，即利用l1 loss的稀疏性，事先如果知道噪声的分布，且该分布下图片中的像素为噪声的概率较低时，使用l1 loss要优于l2 loss，其他情况根据噪声分布的实际情况设计相应的loss。

Theoretical Background

在高分辨率算法中，由低分辨率到高分辨率图的对应是一对多的，也就是说，一张低分辨率图是可以对应多张高分辨率图的，网络直接使用l2 loss去回归高分辨率的结果，实际上会倾向于回归可能对应的高分辨率图像的均值，因此预测的高分辨率图会倾向于模糊。

也就是说，对于任务\[\mathop{\arg\min}_z \mathbb{E}_y\{L(z,y)\}\],其最小值在\(z = \mathbb{E}\{y\}\)取得。

同样地，L1 loss取得最小值时在target的中位数处取得。

这样的一对多的回归任务用神经网络拟合可以写成：
\[ \mathop{argmin}_\theta \mathbb{E}_{(x,y)}\{L(f_\theta(x),y)\} \]
由于一张图对应对个target，所以上式优化时同时对x、y两个变量优化。

如果输入变量x之间相互独立，那么上式又可写成：
\[ \mathop{argmin}_\theta \mathbb{E}_x\{\mathbb{E}_{y|x}\{L(f_\theta(x),y)\}\} \]
可见优化过程可以分成两步优化。这有什么好处呢？如果一张图对应的target足够多，并且target的噪声满足0均值分布，那么\(y|x\)的优化结果理应就是clean的target，然后再对每张输入图片进行第二步优化。

用公式表达就是：
\[ \mathbb{E}\{\hat{y}_i|\hat{x}_i\} = y_i \]
上式\(y_i\)表示clean data，只要近似满足噪声是0均值分布的，优化的结果就可以将噪声均值化从而达到去噪的目的。

Practical Examples

本文还列举了很多去噪的例子，我仅看了几个感兴趣的。

Additive Gaussian Noise: 满足0均值特性，按照上文说的方式进行优化，发现也可以SOTA。
去除弹幕（暂且这么叫），主要看了一下这个。
MRI图像恢复。

对于1，不再阐述。

对于2，文章随机对图片添加文字，保证图片每个像素被污染的概率为[0,0.5]区间范围内，而在测试时，污染概率采用的是约为0.25来进行测试。结果如图所示：

可以看到，L2 loss要差于L1 loss，这是因为事先已知噪声的分布特性，即每个点是噪声的概率在[0,0.5]之间，因此网路理应更倾向于认为预测的像素点不是噪声，这刚好与L1 loss的稀疏特性是对应的，由于L1 loss具有稀疏性，所以其预测的结果中0会偏多，也就是网络会更相信要拟合的target就是clean target，这刚好是符合噪点概率分布特点的，因此L1 loss是优于L2 loss的。还有一点，由于噪声不一定是0均值的，使用L2 loss的话，网络的预测结果就是clean data和噪声均值的线性和，这会导致输出图片的颜色整体看起来怪怪的，而使用L1 loss就更相信原图，相当于减弱了噪声对loss的影响。

对于3，文章中还说到了可以本文的方法可以帮助MRI图像的重建。

MRI图像重建常规的方法是在k空间中周期性采样然后重建原图(因为频域空间是连续的而图像空间是离散的)，但是需要满足奈奎斯特采样定律，因此采样频率必须比较高；然后就是利用压缩感知(cs)重建图像，压缩感知技术是在k空间中随机采样，而不是周期采样，因而可以不必满足奈奎斯特采样定律，甚至可以以更少的采样点恢复原图。本文将在k空间的采样过程看成是概率分布一定的伯努利过程的随机采样，然后将采样后的信号通过傅里叶反变换恢复原图、其中，k空间内每个点保留的概率为\(p(k) = e^{-|k|}\)，如图，a是d经过采样后重建的图像，其只保留了10%的信号频率。那么我们训练的时候，就有两种选择，一种是拿采样合适的clean图作为target取学习，还有一种就是拿同样只保留10%信号频率后重建的图作为target，而前者就对应了一般的高分辨率算法，后者对应本文的方法。

因此，loss定义为：
\[ L = (F^{-1}(R_{\hat{x}}(F_\theta(\hat{x})))-\hat{y})^2 \]
其中F是傅里叶变换，R是对频谱图加上一常数，防止有0值出现，因为在傅里叶反变换的时候可能会除以0值导致溢出。