昨天在公众号“原理”中“
”一文介绍了一种数学规律突然消失的情况，即数学中的
虚幻模式。这种虚幻模式最初是由David Borwein、Jonathan Borwein父子两人在2001年发现的这种不寻常的模式。
^Jonathan Borwein^
这其中涉及到一个在信号处理领域中常被使用的一个函数：sinc函数，它的公式如下：
这个函数是正弦函数sin(t)除以t，是一个偶对称函数。如果函数自变量乘以一个常量因子，则会引起函数图形的尺度变化，即沿着自变量坐标轴的方向进行拉伸和压缩。下图显示了尺度动态变化的sinc函数。
虽然sinc函数是由简单的基本函数经过初等运算组成，但是它的原函数，即积分函数却不是一个初等函数。下图就是使用数值计算绘制出sinc函数的积分函数图形。从图像中可以看出，随着t趋向于正无穷，积分的值趋向于一个常量π，这说明sinc函数的面积等于π。
严格证明sinc函数的面积等于π，需要使用到 一些数学技巧，下面的连接给出了两种求取sinc函数面积的方法。
https://www.wikihow.com/Integrate-the-Sinc-Function
前面提到的“数学虚幻模式”就是研究sinc函数面积的问题。如果将sinc函数与它的拉伸三倍的函数相乘，仍然得到一个偶对称的函数，如下图所示：
那么这个相乘后的函数的面积是多少呢？
sinc函数的面积等于π，拉伸三倍的函数的面积应该等于3π。如果求两个函数相加后的面积，结果则很简单，就是4π。但这里求它们的乘积的面积，则有一定的困难了。
不过最终还是可以通过数学计算获得sinc(t)*sinc(t/3)的面积，结果居然还是π。
如果将故事继续下去，将上述函数乘以sinc函数拉伸5倍后的sinc函数。即：
sinc(t)*sinc(t/3)*sinc(t/5)
这个偶对称函数它的面积是多少呢？如果这个乘积项继续增加，它们的面积又会是多少呢？这中间有什么规律吗？
下图绘制了上述函数乘积项数，从1 到10的变化情况：
可以看出，这个乘积函数始终是偶函数，并且随着乘积项的增多，整个函数逐步收敛于一个固定的函数。
这些函数的面积有下面公式给出，其中N定义了函数乘积项的个数。这个积分被称之为：Borwein积分。
求解上述面积非常困难，数学家借助于数值计算逐步求解上面的积分，就会发现一个令人困惑的现象：当函数的乘积项N等于1至7的时候，积分的数值In始终都精确的等于π。但是当N=8的时候，虽然看起来整个函数图像与前面很相似，但结果却不在严格等于π了，而是稍微变小了，大约小了0.0000000001（9个0，1个1）。
当数学家第一次在计算机上算的这个数值的时候吧，他们以为是计算软件出现了bug。但随后的解证实了这个数值的正确性，当N继续增加时，所得到的函数面积会变得越来越小。
这种数学模型突然变化，使得人们感到困惑。实际上还有其它的数学模式会持续更长的序列，然后突然消失。比如下面的这个积分值，当N小于56的时候，Jn都等于π/2。但当N大于57的时候，Jn就开始变小了，小了10的负110次方。
对于数学中的虚幻模式，可以从数学上进行探讨，也可以从物理上进行解释。当然，如果大家学习了“信号与系统”，就可以从信号的频域看待这个虚幻模式了，会发现，它实际上并不虚幻。
为了叙述方便，假设大家都已熟悉了傅里叶变换（FT：Fourier Transform）以及它的基本性质。
根据FT对偶性质，时域的sinc函数，在变换域频谱函数，即它的傅里叶变换则是一个非常简单的窗口函数，也称方波信号。
信号的频谱F(Ω）在原点的取值F(0)恰好等于信号的面积。
根据FT的尺度性质，sinc函数在时域的拉伸和压缩，也会引起频谱的压缩和拉伸。只是两者变化的方向是相反的。
最后，还需要借助于FT的另外一个重要的性质：卷积定理。它有两种形式：时域卷积定义和频域卷积定理。
由于前面Borwein积分讨论的是函数相乘后的面积，所以这里需要应用到FT的频域卷积定理，有下面公式给出：
由频域卷积定理可知，两个信号的乘积的频谱等于它们频谱的卷积。
“卷积”运算是信号与系统中重要的运算，它刻画了线性时不变系统的输入输出信号之间的关系。它的公式如下：
上面公式说明，计算两个信号的卷积结果，需要经过以下四个步骤：将其中一个函数进行反褶、平移，然后在和另外一个函数相乘，积分。
这个过程可以通过下面的动图来反映：
从上面动图显示的卷积效果来看，如果 一个函数卷积一个方波信号，结果相当于该函数进行了平滑，结果的长度等于两个信号的长度之和。
有了以上的基本概念之后，下面就可以来分析造成Borwein积分中的“虚幻模式”的原因了。
根据FT的对偶特性，尺度特性，下图给出了sinc(t)，sinc(t/3)的频谱。
然后根据FT的频域卷积定理以及卷积计算过程，可以绘制出
sinc(t)*sinc(t/3)
的频谱图像，如下图所示：
可以看出，卷积后的频谱，原本是方波的边缘就变成了斜坡的过渡带，这是信号卷积一个窗口信号所带来的平滑的作用。过渡带的宽度等于窗口函数的长度。
如果卷积窗口函数的次数越多，这个平滑作用越大，过渡带的宽度就越长。如果过渡带的长度小于原来方波信号的宽度，此时方波在0点的取值F(0)就不会发生变化。请注意，这个F(0)是信号频谱在原点的取值，恰恰就是原来函数的面积。
根据卷积计算过程，可以知道这个平滑过渡带的宽度等于所有参与卷积窗口宽度之和。下图显示了随着乘积项的个数增加，在频域卷积后的变化情况。
从上图中可以看到，当N小于7的时候，F(0)始终等于π，当N等于等于8之后，F(0)的取值就开始减小了。
根据Borwein积分函数形式，可以知道过平滑后的频谱过渡带的宽度等于：
可以看到，当N小于7的时候，上述的累加和始终小于1，过渡带没有影响到F(0)的取值。当N=8的时候， Cn=1.0218，大于1，此时过渡带影响到了F(0)的取值，并使其减小。
通过以上分析可以看出，原本比较“虚幻”的模式，如果换了一个观察和分析的角度，这个虚幻模式就变成了非常简单的现象了。
在近期发表在《物理评论快报》上，物理学家Satya N. Jajumda则将上述的积分使用随机游走的概念来进行解释。使得原本简单的函数积分又重新有了新的含义。
大学工科的同学们，或早或晚都会学习“信号与系统”这门课程。虽然它会涉及到很多抽象的数学运算，但本质上它利用数学的方法刻画现实生活中的信号、系统的行为。一些基本的概念和方法会提高我们对显示物理过程现象的认知能力。如果有意去运用这些基本原理，则可以创造出更加有趣的作品：
下面两个实验作品就是本春季学期“信号与系统”板上的同学们做的两个电子实验作品：
（1）音乐喷泉：利用MCU对于接收到的声音信号进行FFT，然后根据声音信号的频分别控制喷泉的不同喷射模式，形成与音乐的节奏和旋律相匹配的喷泉效果。
（2）膜拜大熊猫：通过控制照明LED的闪烁频率，使其与底盘旋转速度形成周期关系，并略微有一定的周期差别，这就形成了对于图像离散采样的场景。原本高速旋转的图像，在周期频闪灯的采样下形成了大熊猫缓慢动态变化的效果。
（1）原文链接：
https://phys.org/news/2019-07-illusive-patterns-math-ideas-physics.html
（2）求解sinc函数面积的方法链接：
https://www.wikihow.com/Integrate-the-Sinc-Function
来源：CSDN
作者：卓晴
链接：https://blog.csdn.net/zhuoqingjoking97298/article/details/104134302